Завдання І етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

6 клас

1.     На алеї від будинку до озера росте 17 дерев. Юрко, ідучи з дому до озера, відмітив крейдою перше дерево, а потім кожне друге дерево. На зворотньому шляху до будинку він знову відмітив перше дерево (від озера), а потім кожне третє дерево. Скільки дерев залишилось невідміченими?

А) 4;     Б) 5;      В)  6;     Г) 7;       Д) 8.

2.     Микита й Ігор біжать навколо стадіону. Микиті потрібно 6 хвилин, щоб подолати 1 круг, а Ігорю – 5 хвилин. Вони стартували одночасно. Через скільки хвилин вони вперше перетнуть лінію старту одночасно?

А) через 12 хвилин;       Б) через 10 хвилин;        В)  через 11 хвилин;          Г) через 30 хвилин;            Д).через 60 хвилин.

3.     Довжина прямокутного поля дорівнює 80 м, а площа 3200 м2 Знайдіть довжину іншого прямокутного поля, площа і ширина якого у 2 рази менша, ніж першого поля.

А) 20 м;    Б) 40 м;    В)  60 м;   Г) 80 м;      Д) 100 м.

4.      У Максима три сестри і п’ятеро братів. У його сестри Оксани С сестер і Б братів. Чому дорівнює добуток С.і Б?

А) 8;       Б) 10;     В)  12;      Г) 15;      Д) 18.

5.     Натуральні числа від 1 до 12 розміщені на вершинах фігури, зображеної на малюнку таким чином, що суми довільних чотирьох чисел, розміщених на одній прямій, є однаковими. Де ми можемо знайти число 7?

А) А;       Б) В;     В)  С;      Г) D;      Д) Е.

6.     В одному дворі живуть четверо юнаків. Відомо, що Вадим і водій старші за Сергія, Микола і сантехнік захоплюються плаванням, бібліотекар – молодший із юнаків, Антон і перукар грають в доміно проти Сергія і бібліотекаря. Визначити професію кожного юнака.

7.     Чи ділиться на 6 число 102012+2012? Відповідь обґрунтуйте.

8.     Знайдіть найбільше натуральне число, у якого всі цифри різні та кожні дві сусідні цифри відрізняються щонайменше на 2.

9.     Яблука становили 45% від усієї  кількості зібраних фруктів, а яблука сорту «сніжний кальвін» становили 40% від загальної кількості зібраних яблук. Скільки центнерів фруктів було зібрано, якщо сніжного кальвіну зібрали 10,8 ц?

Кожне із завдань 1-5 оцінюються 2 балами . Завдання 6-9 оцінюються по 5 балів.

6.  Відповідь. Микола – бібліотекар, Сергій – сантехнік, Вадим – перукар, Антон – водій.

         За кожну правильно визначену професію нараховується один бал. За повне пояснення ходу розв’язання добавляємо ще один бал.

7. Відповідь. Так.  

Щоб число ділилося на 6 необхідно, щоб воно ділилося і на 2 і на 3.(2 бали)

Сума цифр даного числа 1+2+1+2=6, отже воно ділиться на 3. (2 бали)

Дане число закінчується парною цифрою 2, отже кратне 2.(1 бал)

8.  Відповідь. 9758642031

         Зрозуміло, що число не може мати більше ніж 10 цифр, крім того, воно повинно бути десятицифровим, бо таке число завжди більше за число, яке має меншу кількість цифр. (1 бал)

         З двох чисел з однаковою кількістю цифр більшим є те, у якого більшою є  цифра у найвищому розряді. Таким чином, будемо ставити відповідні цифри по місцях. (1 бал)

         975 – перші три цифри; другою цифрою не може бути 8, так само, як і третьою.(1 бал)

         864 – наступні три цифри. (1 бал)

         Далі не може стояти цифра 3, а має стояти 2 і 0 (1 бал)

         Тому останні цифри мають бути 31.(1 бал)

10.                       Відповідь: 60 ц.

Яблука сорту «сніжний кальвін» становили 40% від загальної кількості зібраних яблук, отже 40% від 45%, що становить 18% усіх зібраних фруктів. (3 бали)

         18% усіх фруктів становить 10,8 ц, отже, фруктів зібрали 60 ц. (2 бали)