task/30456869_30392046

1. Найти  производные

а) y ' = ( (x²+1)/(x²-2) ) ' =|| (u/v)' =(u'*v -v'*u)/v² || =( (x²+1) '*(x²-2) - (x²-2) ' * (x²+1) )/(x²-2)² =( 2x*(x²-2) - 2x* (x²+1) )/(x²-2)² = -6x/(x²-2)²

* * * или y ' = ( (x²+1)/(x²-2) ) '= ( 1 +3/(x²-2) ) ' =1' +(3*(x²-2)⁻¹) ' =0+3*( (x²-2)⁻¹) ' =3*(-1)*(x²-2)⁻²*(x²-2)' = -3(x²-2)⁻²*2x  = - 6x/(x²-2)²  * * *

б) y ' = ( (1+4x)³ ) ' = 3(1+4x)²*(1+4x) ' = 3(1+4x)²*4  = 12(1+4x)².

в) y ' = ( x²sin(1-3x) ) ' = ||  (u*v) ' =(u'*v +v'*u || =(x²)'*sin(1-3x)+(sin(1-3x) ) ' *x²=2x*sin(1-3x)+cos(1-3x)*(1-3x) '*x² =2xsin(1-3x)+cos(1-3x)*(-3)*x² =2xsin(1-3x) - 3x²cos(1-3x).

2 . Найти асимптоты функции y = x² / (x²+ 4). Построить схематично график этой функции

решение          у =x² / (x²+ 4)  

а) D(y):  x ∈ R   * * * очевидно  x²+ 4 ≥ 4 ≠ 0 * * *  

б)  у(-x) =y(x)  → четная функция ,следовательно график функции симметрично относительно  оси ординат

в)  (0 ; 0) ∈  Графику функции .       y ≥ 0  ; min(y) =0.

г) у = x² / (x²+ 4) =1 - 4 / (x²+ 4)   * * *  0  ≤ у < 1 * * *   x→ ∞ ⇒ y→1 - 0  

y = 1  горизонтальный асимптот  

3.  Написать  уравнение  касательной  в  точке  x = 1  к  кривой  y = 2x³+6x²+2x - 3

Уравнение  касательной  в точке x = 1:  y - y(1) = y'(1)*(x-1)

y(1) =2*1³+6*1²+2*1-3 =7 ; y '=2*3x²+6*2*x+2=2(3x²+6x +1); y'(1) =20

y -7= 20(x-1) ⇔  y = 20x -13                

ответ:  y = 20x -13       * * * 20x -y - 13 = 0 * * *

4. Найти экстремум функции  y= x³- 6x²+9x - 3

y '=  (x³- 6x²+9x - 3)' = 3x²- 6*2*x+9*1+0 =3(x²-4x+3) = 3(x-1)(x-3)

+ + + + + + + (1) - - - - - - - (3) + + + + + + +

y       ↑        max      ↓      min         ↑          

y max  = y(1) = 1³- 6*1²+9*1 - 3 = 1 - 6+9 - 3  = 1          

y min =  y(3) = 3³- 6*3²+9*3 - 3 =  - 57      

5. Найти наименьшее и наибольшее значения  функции  y= x³- 12x - 3  на отрезке [ -1 ;5]

y '=  ( x³- 12x - 3) '  =3x²- 12 =3(x²- 4)=3(x²- 2²) = 3(x+2)(x-2)

y ' = 0 ⇔ [ x = - 2 ; x= 2 .

y(-1) = 1³- 12*1 - 3  = 1 -12 -3 =  -14 ; y(5) =5³- 12*5 - 3 =125 - 60 - 3 = 62

y(-2) = (-2)³- 12*(-2) - 3  = 13 ;  y(2) =2³- 12*2 - 3 = -19 .        

min{ -14 ; 62 ; 13 ; -19} = -19  , max{ -14 ; 62 ; 13 ; -19} = 62

ответ:  - 19 ;  62