Ответ:

a) x₁ = 2πk;    x₂ = π/6 + πk;     x₃ = - π/6 + πk    (k∈Z)

б) х = -7π/6; -5π/6; -π/6; 0;  π/6; 5π/6; π;  7π/6; 11π/6;

Пошаговое объяснение:

а) 2sin (x/2) · cos 2x = sin (x/2)

2sin (x/2) · cos 2x - sin (x/2) = 0

sin (x/2) · (2cos 2x - 1) = 0

1) sin (x/2) = 0;               2) cos 2x = 1/2

x/2 = πk  (k∈Z);                2x = +- π/3 + 2πk   (k∈Z)

x₁ = 2πk;                            x₂ = π/6 + πk;     x₃ = - π/6 + πk    (k∈Z)

б)  Корни на промежутке [-3π/2; 2π]

1)  исследуем x₁ = 2πk;

2πk = -3π/2;    2k = -3/2;   k = -3/4;

 2πk = 2π;   k = 1;

В промежутке k [- 3/4; 1] находим целые значения k = 0 и k = 1

Поэтому для х₁ имеем следующие решения в заданном промежутке

х = 0; π.

2) Исследуем x₂ = π/6 + πk

π/6 + πk = -3π/2;    k = -3/2 - 1/6;    k = -1 2/3

π/6 + πk = 2π;   k = 2 - 1/6;      k = 1 5/6

В промежутке k [- 1 2/3; 1 5/6] находим целые значения

k = -1, k = 0 и k = 1

Поэтому для х₂ имеем следующие решения в заданном промежутке

x = -5π/6; π/6; 7π/6.

3) Исследуем x₃ = - π/6 + πk

-π/6 + πk = -3π/2;    k = -3/2 + 1/6;    k = -1 1/3

-π/6 + πk = 2π;   k = 2 + 1/6;      k = 2 1/6

В промежутке k [- 1 1/3; 2 1/6] находим целые значения

k = -1, k = 0, k = 1 и k = 2

Поэтому для х₂ имеем следующие решения в заданном промежутке

x = -7π/6; -π/6; 5π/6; 11π/6

Выписываем все решения по возрастающей

х = -7π/6; -5π/6; -π/6; 0;  π/6; 5π/6; π;  7π/6; 11π/6;