Размещено 5 лет назад по предмету Математика от Lololo2013

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА А ТО ДОЛГО СИЖУ НАД ЗАДАНИЯМИ!ДАЮ 50 БАЛЛОВ , ВСЕ СВОИ ПОСЛЕДНИЕ БАЛЛЫ
1.Какая из следующих функций является периодической?
А.y=sin3x/2 B.y=xsinx C.y=sin(x^2+1) D.y=sinx^2 E.y=x-sinx И ПОЧЕМУ?
2.Найдите наименьшее значение функции y=(sin30граусов)^(cosx+sinx)
3.Найдите множество значений функции y=cosx+sinxctgx
4.Найдите значение выражения 3|sinA-cosA| если sinAcosA=3/8

Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан Guerrino

1)
$y=sinfrac{3x}{2}$ ; Синус - это периодическая функция.
$sin(frac{3(x+frac{4pi}{3}) }{2})=sin(frac{3x}{2}+2pi)=sin(frac{3x}{2})$ ; Поэтому у данной функции есть период. Просмотрим остальные:
$y=xsin x$ ; Пусть у этой функции есть период T: $(x+T)sin(x+T)=xsin x Leftrightarrow 1+frac{Tn}{x}=frac{sin x}{sin(x+Tn)}, forall x , nin mathbb{N}$ ; Выберем такое число x и n, что выполняются следующие условия: $x<Tn, ; n>3,; cot x <1$ ; Тогда левая часть будет больше правой, что невозможно.
$y=sin(x^{2}+1)$ ; Пусть функция имеет период T:
$sin((x+T)^{2}+1)=sin(x^{2}+1)$
$(x+T)^{2}+1=x^{2}+1+2pi Leftrightarrow T^{2}+2xT-2pi=0 Rightarrow Tneq const$ ; Получили противоречие.
С оставшимися аналогично.
Ответ: А;
2) $y=(sin 30^{o})^{sin x +cos x} Leftrightarrow y=(frac{1}{2})^{sin x +cos x}$ ; Функция монотонно убывает по мере роста показателя степени.
Заметим, что $sin x +cos x = sqrt{2}sin(x+frac{pi}{4})leq sqrt{2}$ ; Значит, $y geq (frac{1}{2})^{sqrt{2}} = 2^{-sqrt{2}}$ ;
3) $y=cos x +sin x cot x Leftrightarrow y=2cos x, xneq kpi, ; kin mathbb{Z}$ ; С этими условиями область значений равна [-2;2]; Если брать в расчет все значения x, то придется выколоть все точки с ординатами 2 или -2; Получаем, что E(f)=(-2;2);
4) Пусть sin A - первый корень какого-нибудь квадратного трехчлена, а -cos A - его второй корень. Тогда квадратное уравнение примет такой один из возможных видов: $x^{2}+bx-frac{3}{8}$ ;
В итоге, получаем: $left { {{sin^{2}x+bsin x=frac{3}{8} } atop {cos^{2}x-bcos x=frac{3}{8} }} right.$ ; Сложим два уравнения:
$sin^{2}x + cos^{2}x+b(sin A -cos A) =frac{3}{4}Leftrightarrow 1-b^{2}=frac{3}{4}Leftrightarrow b=pm frac{1}{2}$ ;
$3|sin A -cos A| = 3|b| = 3times frac{1}{2} =frac{3}{2}$