ДАНО: Y = (x²-x +1)/(x-1).

ИССЛЕДОВАНИЕ

1. Область определения: D(y)= X≠ 1 , X∈(-∞;1)∪(1;+∞). Не допускаем деления на 0 в знаменателе.  

2. Разрыв II-го рода при Х = 1. Вертикальных асимптота  - Х = 1.    

3. Наклонная асимптота: k = lim(+∞)Y(x0/x = 1 , b = 1 и

y(x) = x + 1 - асимптота.

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ.   Нулей функции - нет

Пересечение с осью ОУ: y(0) = -1.  

5. Интервалы знакопостоянства.    

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;1). Положительна: Y>0 - X∈(1;+∞;)  

6. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ - нет симметрии ни осевой ни центральной.  

Функция общего вида - ни чётная, ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) ,  

Y(-x)≠ Y(x).    

7. Поиск экстремумов по первой производной.      

y'(x) = 2*x/(x-1) - (x²-х+1)/(x-1)² = 0.  

x1 = 0,  x2 = 2 - точки экстремумов.  

8. Локальный максимум: y(0) = -1, минимум: y(2) = 3.  

9. Интервалы монотонности.    

Возрастает - X∈(-∞;0)∪(2;+∞).  Убывает: X∈(0;1)∪(1;2).  

10. Поиск перегибов по второй производной.    

y"(x) = 2/(x-1)³ = 0  

Точки перегиба нет, кроме разрыва при Х = 1.      

11. Вогнутая - "ложка"- X∈(1;+∞;), выпуклая - "горка" - X∈(-∞;1);    

12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).    

13. График функции на рисунке в приложении.