Размещено 6 лет назад по предмету Математика от sandress2000

Пожалуйста, объясните РЕШЕНИЕ, оно тут есть, но как-то непонятно становится, когда составляют уравнение...
Петя и Вася одновременно ввели в свои калькуляторы одно и то же не равное 0 целое число. После этого каждую минуту Петя либо прибавлял к своему числу 10, либо умножал его на 2014; одно-временно Вася в первом случае вычитал из своего числа 10, а во втором — делил его на 2014. Мог-ло ли оказаться, что через некоторое время числа у Пети и Васи снова стали равными? (И. Богданов)
Ответ. Да, так могло оказаться. Решение. Допустим, последним действием перед тем, как числа снова стали равными, Петя умножал на 2014, а Вася делил. Тогда перед этим Петино и Васино числа были отрицательными, и модуль Васиного числа было в 20142 раз больше модуля Петиного. Пусть эти два числа были получены из одного и того же исходного числа n повторенной k раз опе-рацией «Петя прибавляет 10, Вася вычитает 10». Это означает, что n–10k = 20142(n+10k)  10(20142+1)k = (1–20142)n. Полагая, например, n = –10(20142+1), получаем, что, начав с такого числа n, Петя и Вася могли снова уравнять свои числа, совершив сначала 20142–1 операций «Петя прибавляет 10, Вася вычитает 10», а потом одну операцию «Петя умножает на 2014, Вася делит на 2014». Замечание. Есть и другие решения.

Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан Dante2410

смотри: последнее действие это умножение на 2014 у первого и деление на 2014 у второго.
Числа изначально отрицательные, потому что, в противном случае, у первого число всегда бы возрастала, а у второго убывала. Перед последним действием числа у обоих тоже отрицательные и число у второко в 2014^2 ращ больше числа у первого, потому что у второго число положительным стать не может в оюбом случае.
Пусть n - изначальное число, и мы до последней операци только совкршали операции +10 и -10, тогда через k операций у первого станет число n+10k, а у второго n-10k;
т.к. перед последним действием у второго число в 2014^2 больше, чем у первого, то:
n-10k=2014^2(n+10k)
n-10k=2014^2n+10*2014^2*k;
(1-2014^2)n=10k(1+2014^2)
Найдем целочисленные решения данного уравнения:
k=(2014^2-1); n=-10(2014^2+1);
То есть изначальное число -10(2014^2+1) у обоих
Через k операций у первого:
-10(2014^2+1)+10(2014^2-1)=-20;
у второго:
-10(2014^2+1)-10(2014^2-1)=-20*2014^2;
тогда после последнего действия (умножение и деление на 2014):
-20*2014 - у первого;
-20*2014^2/2014=-20*2014;
эти числа оказались равны