Ответ: 13 шариков.

Решение:

В таких задачах всегда нужно рассматривать так называемый  "худший случай."

Представьте, что Вам с утра совсем не везет. Достаете шарик он -  красный, второй достаете - опять красный, и третий достаете - опять красный! И так достали 6 красных шариков, подряд. А теперь невезенье продолжается: Вы достали еще пять белых и еще один черный... Ничего страшного! Теперь уже беспокоиться не нужно! Мы достали все шарики двух цветов и один черного, следующий точно будет черного цвета. Тогда у нас будет два красных (достали 6),  два белых (5) и два черных.

Итак, мы выяснили, что взяв 12 шариков, тринадцатый  будет обязательно другого цвета. Конечно, все может сложиться по-другому, но мы ищем именно то число шариков, где обязательно, 100 процентов, найдется по два шарика всех цветов. Поэтому 13 и является искомым числом.