(1)/((2x+1)(2x+2)) + (1)/((2x+2)(2x+3)) +
+ (1)/((2x+3)(2x+4)) ≤ 3/4

Умножим обе части уравнения на
(2х+1)(2х+2)(2х+3)(2х+4):

(2х+1)(2х+2)(2х+3)(2х+4)/((2x+1)(2x+2)) +
+ (2х+1)(2х+2)(2х+3)(2х+4)/((2x+2)(2x+3)) +
+ (2х+1)(2х+2)(2х+3)(2х+4)/((2x+3)(2x+4)) ≤
≤ 3(2х+1)(2х+2)(2х+3)(2х+4) / 4

4(2х+3)(2х+4) +4(2х+1)(2х +4) +4(2х+1)(2х+2) ≤
≤ 3(2х+1)(2х+2)(2х+3)(2х+4)

4(4х^2 + 6х + 8х + 12 + 4х^2 + 2х + 8х + 4 +
+ 4х^2 + 2х + 4х + 2) ≤ 3(4х^2 +2х + 4х + 2)•
•(4х^2 + 6х + 8х + 12)

4(12х^2 + 30х + 18) ≤ 3(4х^2 + 6х + 2)•
•(4х^2 + 14х + 12)

4•3(4х^2 + 10х + 6) ≤ 3•2(2х^2 + 3х + 1)•
•2(2х^2 + 7х + 6)

4х^2 + 10х + 6 ≤ (2х^2 + 3х + 1)•
•(2х^2 + 7х + 6)

4х^2 + 10х + 6 ≤ 4х^4 + 6х^3 + 2х^2 +
+ 14х^3 + 21х^2 + 7х + 12х^2 + 18х + 6

4х^2 + 10х + 6 ≤ 4х^4 + 20х^3 + 35х^2 +
+ 25х + 6

4х^4 + 20х^3 + 35х^2 + 25х + 6 -
- (4х^2 + 10х + 6) ≥ 0

4х^4 + 20х^3 + 35х^2 + 25х + 6 -
- 4х^2 - 10х - 6 ≥ 0

4х^4 + 20х^3 + 31х^2 + 15х ≥ 0

х(4х^3+ 20х^2 + 31х + 15) ≥ 0

х(х+1)(х+2,5)(х+1,5) ≥ 0

1) х1 ≥ 0
2) х + 1 ≥ 0
х2 ≥ -1
3) х+2,5 ≥ 0
х3 ≥ -2,5
4) х + 1,5 ≥ 0
х4 ≥ -1,5

-2,5 -1,5 -1 0
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Ответ: х ≥ 0