5 часов 5 минут = 5 1/12 часа;
12 часов 55 минут = 12 11/12 часа;
4 часа 6 минут = 4 1/10 часа.

Схема:
Т______П_____В
Где Т - Тула
В - Вязьма
П - Помежуточная станция.

1) Пусть ТП - часть пути от Тулы до Промежуточной станции,
ВП - часть пути от Вязьмы до Промежуточной станции
Пусть х - скорость товарного поезда,
z - скорость пассажирского поезда.
у - время, которое товарный поезд потратил на то, чтобы добраться из Тулы до Промежуточной станции.
у - 5 1/12 - время, которое пассажирский поезд потратил на то, чтобы добраться из Вязьмы до Промежуточной станции.
Тогда:
после того, как поезда достигли Промежуточной станции, можно записать:
ТП = ху
ВП = z(у - 5 1/12) = z(у - 61/12)
а после того, как поезда поехали от Промежуточной станции к точкам назначения, можно записать:
ТП = z • 4 1/10 = 41z/10
ВП = х • 12 11/12 = 155х/12
Поскольку равны левые части уравнений, то равны и правые, можем записать систему уравнений:
{ ху = 41z/10
{ z(у - 61/12) = 155х/12
Перемножим левые части и правые части этих уравнений:
хуz(у - 61/12) = 41z/10 • 155х/12
Можно сократить х и z в обеих частях уравнения:
у(у - 61/12) = 41/10 • 155/12
Получаем квадратное уравнение:
у^2 - 61у/12 - 41/10 • 155/12 = 0
Умножим обе части уравнения на 120, чтобы избавиться от знаменателей:
120у^2 - 610у - 41•155 = 0
120у^2 - 610у - 6355 = 0
D = (610)^2 - 4 • 120 • (-6355) =
= 372100 + 3050400 = 3422500
√D = √3422500 = 1850
у1 = (610 - 1850)/(2•120) = -1240/240 =
= - 31/6 = -5 1/6 - не подходит, поскольку время не может иметь отрицательное значение.
у2 = (610 + 1850)/(2•120) = 2460/240 =
= 41/4 = 10 1/4 часа = 10 часов 15 минут - время, которое товарный поезд потратил на то, чтобы добраться из Тулы до Промежуточной станции.

2) у - 5 1/12 = 10 1/4 - 5 1/12 = 10 3/12 - 5 1/12 =
= 5 2/12 = 5 1/6 = 5 ч 10 мин. потратил пассажирский поезд на путь от Вязьмы др Промежуточной станции

3) 10 ч 15 мин + 12 ч 55 мин. =
= 23 часа 10 минут - потратил товарный поезд на путь между Тулой и Вязьмой.

4) 5 ч 10 мин + 4 ч 6 мин = 9 ч 16 мин - потратил пассажирский поезд на путь между Вязьмой и Тулой.

Ответ: товарный - 23 ч 10 мин,; пассажирский - 9 ч 16 мин.