Размещено 5 лет назад по предмету Математика от okeisy

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение не имеет положительных корней

Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан polka125

Ответ:
$a geq 0$
Пошаговое объяснение:
Рассмотрим 2 случая:
1-й случай: $a < 0$ .
Заметим, что тогда дискриминант больше 0
$D = (a^2 - a + 1)^2 + (-4a)(a^2 + 1) > 0$ так как
$(a^2 - a + 1)^2 geq 0, (-4a) > 0, (a^2 + 1) > 0.$
Значит уравнение имеет вещественные корни $x_1, x_2.$
По теореме Виета:
$x_1x_2 = a^3 + a = a(a^2 + 1) < 0$ , значит $x_1, x_2$ -- разных знаков, то есть лежат по разные стороны от нуля. Что не удовлетваряет требованиям задачи. Значит никакие $a < 0$ не подходят.
2-й случай: $a geq 0.$
Рассмотрим 2 подслучая:
2.1) оказалось, что дискриминант $D < 0$ .
Тогда уравнение не имеет положительных корней (потому что оно не имеет вещественных корней).
2.2) оказалось, что $D geq 0.$ Тогда уравнение имеет корни (возможно, кратные). Обозначим их $x_1, x_2$ . Заметим, что эти корни одного знака, так как их произведение (по теореме Виета):
$x_1x_2 = a(a^2 + 1) geq 0$ . То есть они лежат по одну сторону от нуля. Чтобы понять по какую сторону от 0 они лежат, посмотрим на их сумму и опять воспользуемся теоремой Виета:
$x_1 + x_2 = - (a^2 - a + 1) = -(a - frac{1}{2})^2 - frac{3}{4} < 0$ , значит оба корня $leq 0$ .
Это значит, что все $a geq 0$ подходят.
1. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан polka125
  
  ладно, чтобы a < 0 и D < 0 такого не бывает
2. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан polka125
  
  но это тоже надо доказывать
3. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан antonovm
  
  в данном случае , если a < 0 , то свободный член отрицательный , а первый - положительный и значит D >0 , при а < 0 уравнение имеет 2 корня с противоположными знаками ( не подходит ! )
4. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан polka125
  
  Спасибо
5. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан polka125
  
  Исправил. Опять.