Размещено 4 года назад по предмету Математика от mellisandra

Доказать 1/(3n+1)+1/(3n+2)+1/3n+3>1/(2n+1)+1/(2n+2) n - натуральное

Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан nelle987

Сильные духом и имеющие некоторый запас времени могут показать, что
$dfrac1{3n+1}+dfrac1{3n+2}+dfrac1{3n+3}-dfrac1{2n+1}-dfrac1{2n+2}=dfrac{9n^2+11n+4}{6(n+1)(2n+1)(3n+1)(3n+2)}$
Очевидно, эта разность положительна.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Докажем и другим способом. Заметим, что для любого положительного x и для любого положительного 0 < a < x верно следующее:
$dfrac1{x-a}+dfrac1{x+a}>dfrac2x$
(Это можно проверить путем домножения на $x(x^2-a^2)$ , получится $2x^2>2x^2-2a^2$ )
Тогда
$dfrac1{3n+1}+dfrac1{3n+2}=dfrac13left(dfrac1{n+frac12-frac16}+dfrac1{n+frac12-frac16}right)>dfrac{2/3}{n+frac12}$
Разность, написанная выше, строго больше, чем
$dfrac{2/3}{n+frac12}+dfrac{1/3}{n+1}-dfrac1{2n+1}-dfrac{1/2}{n+1}=dfrac{1/6}{n+frac12}-dfrac{1/6}{n+1}$
Так как функция y = 1/x убывает для x > 0, то последнее выражение строго положительно.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
По неравенству о средних
$left(dfrac{dfrac1{n+frac13}+dfrac1{n+frac23}+dfrac1{n+1}}3right)^{-1}leqslantdfrac{left(n+frac13right)+left(n+frac23right)+(n+1)}3=n+frac23$
откуда
$dfrac1{3n+1}+dfrac1{3n+2}+dfrac1{3n+3}=dfrac{dfrac1{n+frac13}+dfrac1{n+frac23}+dfrac1{n+1}}3geqslantdfrac1{n+frac23}$
Тогда
$left(dfrac1{3n+1}+dfrac1{3n+2}+dfrac1{3n+3}right)-left(dfrac1{2n+1}+dfrac1{2n+2}right)geqslantdfrac1{n+frac23}-dfrac{1/2}{n+frac12}-\-dfrac{1/2}{n+1}=dfrac{(n+frac12)(n+1)-(n+frac34)(n+frac23)}{(n+frac23)(n+frac12)(n+1)}$
После раскрытия скобок в числителе получится n/12, и вся разность по-прежнему положительна.
1. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан orjabinina
  
  Второй способ какой-то искусственный. Доказать таким способом проблематично ( чего стоит фраза "Заметим, что для любого положительного x...."). Жалко , что нет сильных духом!
2. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан nelle987
  
  Ок, по заявкам трудящихся напишу еще один способ :) Второй способ _выглядит_ искусственным, потому что я не пишу, почему такое неравенство появилось
3. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан orjabinina
  
  Трудящиеся-рады.