[/banner_gorizont_adaptive]

Размещено 4 года назад по предмету Математика от mellisandra

Доказать 1/(3n+1)+1/(3n+2)+1/3n+3>1/(2n+1)+1/(2n+2) n - натуральное

Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан nelle987

Сильные духом и имеющие некоторый запас времени могут показать, что
$dfrac1{3n+1}+dfrac1{3n+2}+dfrac1{3n+3}-dfrac1{2n+1}-dfrac1{2n+2}=dfrac{9n^2+11n+4}{6(n+1)(2n+1)(3n+1)(3n+2)}$
Очевидно, эта разность положительна.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Докажем и другим способом. Заметим, что для любого положительного x и для любого положительного 0 < a < x верно следующее:
$dfrac1{x-a}+dfrac1{x+a}>dfrac2x$
(Это можно проверить путем домножения на $x(x^2-a^2)$ , получится $2x^2>2x^2-2a^2$ )
Тогда
$dfrac1{3n+1}+dfrac1{3n+2}=dfrac13left(dfrac1{n+frac12-frac16}+dfrac1{n+frac12-frac16}right)>dfrac{2/3}{n+frac12}$
Разность, написанная выше, строго больше, чем
$dfrac{2/3}{n+frac12}+dfrac{1/3}{n+1}-dfrac1{2n+1}-dfrac{1/2}{n+1}=dfrac{1/6}{n+frac12}-dfrac{1/6}{n+1}$
Так как функция y = 1/x убывает для x > 0, то последнее выражение строго положительно.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
По неравенству о средних
$left(dfrac{dfrac1{n+frac13}+dfrac1{n+frac23}+dfrac1{n+1}}3right)^{-1}leqslantdfrac{left(n+frac13right)+left(n+frac23right)+(n+1)}3=n+frac23$
откуда
$dfrac1{3n+1}+dfrac1{3n+2}+dfrac1{3n+3}=dfrac{dfrac1{n+frac13}+dfrac1{n+frac23}+dfrac1{n+1}}3geqslantdfrac1{n+frac23}$
Тогда
$left(dfrac1{3n+1}+dfrac1{3n+2}+dfrac1{3n+3}right)-left(dfrac1{2n+1}+dfrac1{2n+2}right)geqslantdfrac1{n+frac23}-dfrac{1/2}{n+frac12}-\-dfrac{1/2}{n+1}=dfrac{(n+frac12)(n+1)-(n+frac34)(n+frac23)}{(n+frac23)(n+frac12)(n+1)}$
После раскрытия скобок в числителе получится n/12, и вся разность по-прежнему положительна.
1. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан orjabinina
  
  Второй способ какой-то искусственный. Доказать таким способом проблематично ( чего стоит фраза "Заметим, что для любого положительного x...."). Жалко , что нет сильных духом!
2. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан nelle987
  
  Ок, по заявкам трудящихся напишу еще один способ :) Второй способ _выглядит_ искусственным, потому что я не пишу, почему такое неравенство появилось
3. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан orjabinina
  
  Трудящиеся-рады.

Не тот ответ на вопрос, который вам нужен?

Найди верный ответ

Самые новые вопросы

Математика - 4 года назад

Сколько здесь прямоугольников

История - 5 лет назад

Какое управление было в древнейшем риме? как звали первого и последнего из царей рима?

Литература - 5 лет назад

Уроки французского ответе на вопрос : расскажите о герое по следующему примерному плану: 1.почему мальчик оказался в райцентре ? 2.как он чувствовал себя на новом месте? 3.почему он не убежал в деревню? 4.какие отношения сложились у него с товарищами? 5.почему он ввязался в игру за деньги? 6.как характеризуют его отношения с учительницей ? ответе на эти вопросы пожалуйста ! сочините сочинение пожалуйста

Русский язык - 5 лет назад

Помогите решить тест по русскому языку тест по русскому языку «местоимение. разряды местоимений» для 6 класса 1. укажите личное местоимение: 1) некто 2) вас 3) ни с кем 4) собой 2. укажите относительное местоимение: 1) кто-либо 2) некоторый 3) кто 4) нам 3. укажите вопросительное местоимение: 1) кем-нибудь 2) кем 3) себе 4) никакой 4. укажите определительное местоимение: 1) наш 2) который 3) некий 4) каждый 5. укажите возвратное местоимение: 1) свой 2) чей 3) сам 4) себя 6. найдите указательное местоимение: 1) твой 2) какой 3) тот 4) их 7. найдите притяжательное местоимение: 1) самый 2) моего 3) иной 4) ничей 8. укажите неопределённое местоимение: 1) весь 2) какой-нибудь 3) любой 4) этот 9. укажите вопросительное местоимение: 1) сколько 2) кое-что 3) она 4) нами 10. в каком варианте ответа выделенное слово является притяжательным местоимением? 1) увидел их 2) её нет дома 3) её тетрадь 4) их не спросили

Русский язык - 5 лет назад

Переделай союзное предложение в предложение с бессоюзной связью. 1. океан с гулом ходил за стеной чёрными горами, и вьюга крепко свистала в отяжелевших снастях, а пароход весь дрожал. 2. множество темноватых тучек, с неясно обрисованными краями, расползались по бледно-голубому небу, а довольно крепкий ветер мчался сухой непрерывной струёй, не разгоняя зноя 3. поезд ушёл быстро, и его огни скоро исчезли, а через минуту уже не было слышно шума

Русский язык - 5 лет назад

помогите прошу!перепиши предложения, расставляя недостающие знаки препинания. объясни, что соединяет союз и. если в предложении один союз и, то во втором выпадающем списке отметь «прочерк».пример:«я шёл пешком и,/поражённый прелестью природы/, часто останавливался».союз и соединяет однородные члены.ночь уже ложилась на горы (1) и туман сырой (2) и холодный начал бродить по ущельям.союз и соединяет:1) части сложного предложенияоднородные члены,2) однородные членычасти сложного предложения—.поэт — трубач зовущий войско в битву (1) и прежде всех идущий в битву сам (ю. янонис).союз и соединяет:1) части сложного предложенияоднородные члены,2)

Физика - 5 лет назад

Вокруг прямого проводника с током (смотри рисунок) существует магнитное поле. определи направление линий этого магнитного поля в точках a и b.обрати внимание, что точки a и b находятся с разных сторон от проводника (точка a — снизу, а точка b — сверху). рисунок ниже выбери и отметь правильный ответ среди предложенных.1. в точке a — «от нас», в точке b — «к нам» 2. в точке a — «к нам», в точке b — «от нас» 3. в обеих точках «от нас»4. в обеих точках «к нам»контрольная работа по физике.прошу,не наугад важно

Информация

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Что ты хочешь узнать?

Задай вопрос