Размещено 5 лет назад по предмету Математика от girl20166

∑∞,n=1 $frac{(x+2)^n}{n^2+3}$ . найдите радиус сходимости степенного ряда. помогите

Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан Leon8634

Ответ:
1
Пошаговое объяснение:
Воспользуемся признаком Даламбера
$R=limlimits_{xto infty}|frac{a_n}{a_{n+1}} |$
где $a_n=frac{1}{n^2+3}$
Значит
$R=limlimits_{xto infty}|frac{(n+1)^2+3}{n^2+3} |=limlimits_{xto infty}|frac{(n+1)^2+3}{n^2+3} |=limlimits_{xto infty}|frac{n^2+2n+4}{n^2+3} |$
Данный предел берется легко, достаточно разделить числитель и знаменатель на старшую степень
$R=limlimits_{xto infty}|frac{1+frac{2}{n}+frac{4}{n^2} }{1+frac{3}{n^2} } |=1$ .
1. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан girl20166
  
  А a n почему равен 1/n^2+3? откуда?
2. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан Leon8634
  
  это коэффициент перед степенью (x+2)^n
3. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан girl20166
  
  понятно, спасибо )
Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан bearcab

Ответ:
[-3; -1]
Пошаговое объяснение:
Заметим, что в числителе у нас число в степени n. Функция со степенью растет очень быстро, если число, возводимое в степень, больше 1. Знаменатель не может перевесить сходимость к бесконечности числителя. Поэтому логично потребовать сходимость числителя. Числитель будет сходится, если число под степенью будет меньше или равно единицы. То есть
-1 ≤ х+2 ≤ 1
-1-2≤х≤1-2
-3≤х≤ -1.
Исследуем на границах.
При х=-3 получаем
$sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{n^2+3}$ - этот ряд сходится по интегральному признаку. Причем сходится абсолютно.
$intlimits^infty_0 {frac{1}{x^2+3} } , dx=frac{1}{sqrt{3}}arctanfrac{x}{sqrt{3}}|_0^infty=frac{1}{sqrt{3}}(frac{pi}{2}-0)=frac{pi}{2sqrt{3}}$
При х=-1 получаем
$sum_{n=1}^{infty} frac{1^n}{n^2+3}=sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2+3}$ - этот ряд сходится снова по интегральному признаку. Снова сходится абсолютно. Выкладки уже не привожу.
Если же вдруг числитель превысит единицу, то ряд будет расходится.
Значит область сходимости ряда равна [-3; -1].