Пусть сторона основания пирамиды равна а.

Пирамида правильная, в основании правильный треугольник, площадь которого равна

S_(осн) =

Боковые грани пирамиды, равнобедренные треугольники.

Апофема - высота боковой грани.

Значит апофема делит сторону основания пополам.

Соединим основания двух апофем, т.е проведем в основании среднюю линию.

Средняя линия равна  

Получим равнобедренный треугольник,  с основанием  и  углом 60°  при вершине.

Значит этот треугольник равносторонний.

и апофема равна  

S (бок)

S_(полн)=S_(осн)+S (бок)=

=

Что по условию равно  

Уравнение:    

Апофема:

О т в е т. 2

Так как угол между апофемами 60 градусов, то отрезки, соединяющие основания апофем (это средние линии треугольника основания) равны апофеме (образуются равносторонние треугольники).

То есть А = а/2 или а = 2А.

Площадь основания So = a²√3/4 = 4A²√3/4 = A²√3.

Площадь боковой поверхности равна:

Sбок = (1/2)РА = (1/2)*(3а)*А = (1/2)*(3*2А)*А = 3А².

Приравняем площадь поверхности пирамиды заданному значению.

A²√3 + 3А² = 4√3 + 12.

А²(√3 + 3) = 4(√3 + 3).

А = √4 = 2.

Ответ: апофема А = 2.