1) 12(cosx--=10-13cosx
ОДЗ:х∈R
12(2cosx-2/2)²=10-13cosx
12(cos²x-2cosx+1)=10-13cosx
12cos²x-24cosx+12=10-13cosx
12cos²x-11cosx+2=0
cosx=t; | t |≤1
D=25>0(2рдк)
t1=2/3
t2=1/4
cosx=2/3                         или                    cosx=1/4
x=+- arccos2/3+2Пn; n∈Z                        x=+- arccos1/4+2Пn; n∈Z

1)12(cos x-cos^2 (x/2) - sin^2 (x/2))^2 = 10 - 13cos x
12(cos x - 1)^2 = 10 - 13cos x
12cos^2 x - 24cos x + 12 = 10 - 13cos x
12cos^2 x - 11cos x + 2 = 0
Квадратное уравнение относительно cos x
D = 11^2 - 4*12*2 = 121 - 96 = 25
cos x1 = (11 - 5)/24 = 6/24 = 1/4
x1 = +-arccos(1/4) + 2pi*k
cos x2 = (11 + 5)/24 = 16/24 = 2/3
x2 = +-arccos(2/3) + 2pi*k

2) 20sin^2(3x+2) + 8cos(3x+2) - 19 = 0
20 - 20cos^2(3x+2) + 8cos(3x+2) - 19 = 0
20cos^2(3x+2) - 8cos(3x+2) - 1 = 0
Квадратное уравнение относительно cos x
D/4 = 64 + 20 = 84
cos(3x1 + 2) = (4 - √84)/20 = (2 - √21)/10
3x1 + 2 = +-arccos((2 - √21)/10) + 2pi*k
x1 = -2/3 +- 1/3*arccos((2 - √21)/10) + 2pi/3*k
cos(3x2 + 2) = (4 + √84)/20 = (2 + √21)/10
3x2 + 2 = +-arccos((2 + √21)/10) + 2pi*k
x2 = -2/3 +- 1/3*arccos((2 + √21)/10) + 2pi/3*k

3) sin 2x = 1 + (3 - 7sin(5п+2x))/(4cos(3п/2+2x))
sin 2x = 1 + (3 + 7sin 2x)/(4sin 2x)
4sin^2 2x = 4sin 2x + 3 + 7sin 2x
4sin^2 2x - 11sin 2x - 3 = 0
Квадратное уравнение относительно sin 2x
D= 121 + 4*4*3 = 121 + 48 = 169 = 13^2
sin 2x = (11 - 13)/8 = -1/4
x1 = -1/2*arcsin (1/4) + pi*k
x2 = pi/2 + 1/2*arcsin(1/4) + pi*k
sin 2x = (11 + 13)/8 = 24/8 = 3
Решений нет

4) Извините, что такое корень из 3 без корня, я не понял.
Но на всякий случай напишу
sin(5pi - x/2) = sin(pi - x/2) = sin(x/2)
tg(7pi/2 - x/2) = tg(pi/2 - x/2) = ctg (x/2)