Размещено 4 года назад по предмету Математика от BeatzZ

Помогите!!! Нужно исследовать функцию!!

Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан dnepr1

Функция y = 2x/(x^2-1).
Область определения функции. ОДЗ: от -00 до +00, кроме точек, в которых функция точно неопределена: x=1, x=-1
Точка пересечения графика функции с осью координат Y: График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в 2*x/(x^2-1).
Результат: y=0. Точка: (0, 0) Точки пересечения графика функции с осью координат X: График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение: 2*x/(x^2-1) = 0 Решаем это уравнение здесь и его корни будут точками пересечения с X:
x=0. Точка: (0, 0) Экстремумы функции: Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: y'=-4*x^2/(x^2 - 1)^2 + 2/(x^2 - 1)=0 (Производную находим онлайн, a уравнение решаем здесь)
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами: Не удалось получить решение уравнения. Попробуйте сами и у вас получится! Точки перегибов графика функции: Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции,
+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции: y''=16*x^3/(x^2 - 1)^3 - 12*x/(x^2 - 1)^2=0 lim y'' при x->+1
lim y'' при x->-1
(если эти пределы не равны, то точка x=1 - точка перегиба)
lim y'' при x->+-1
lim y'' при x->--1
(если эти пределы не равны, то точка x=-1 - точка перегиба)
Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы: x=0. Точка: (0, 0)x=1. Точка: (1, oo)x=-1. Точка: (-1, -oo) Интервалы выпуклости, вогнутости: Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов: Вогнутая на промежутках: (-oo, 0] Выпуклая на промежутках: [0, oo) Вертикальные асимптоты Есть: x=1 , x=-1 Горизонтальные асимптоты графика функции: Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим
lim 2*x/(x^2-1), x->+oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=0lim 2*x/(x^2-1), x->-oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=0 Наклонные асимптоты графика функции: Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы lim 2*x/(x^2-1)/x, x->+oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой слеваlim 2*x/(x^2-1)/x, x->-oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой справа Четность и нечетность функции: Проверим функци четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем: 2*x/(x^2-1) = -2*x/(x^2 - 1) - Нет2*x/(x^2-1) = -(-2*x/(x^2 - 1)) - Да значит, функция является нечётной