Ответ: a₁ = -15

Объяснение:

арифметическая прогрессия возрастающая, следовательно, d>0

Арифметическая прогрессия: а1; а1+d; а1+2d

( т.е. а2 = а1+d; a3 = a1+2d )

Геометрическая прогрессия: (а1+20); а2; а3

где а2 = (a1+20)*q; a3 = (a1+20)*q²

получим:

{ a1 + d = (a1+20)*q

{ a1+2d = (a1+20)*q²

{ 65 = (а1+20) + а2 + а3 или 65 = (а1+20) + а1+d + а1+2d

{ a1 + d = (a1+20)*q

{ (a1+20)*q+d = (a1+20)*q²

{ 65 = 3а1+3d + 20 или 3(а1+d) = 65-20

{ a1 + d = (a1+20)*q

{ d = (a1+20)*q² - (a1+20)*q

{ 3(а1+d) = 45 или а1+d = 15 или а2 = 15

{ 15 = (a1+20)*q

{ d = (a1+20)*q*(q-1) или d = 15*(q-1) т.к. d>0 --> q>1

{ а1+d = 15

осталось решить систему:

{ 15 = (a1+20)*q

{ а1 + 15*(q-1) = 15

q = 15/(a1+20)

подставим во второе уравнение системы:

15*(q-1) = 15 - а1

q - 1 = 1 - ((a1)/15)

q = 2 - ((a1)/15)

и из уравнения уже найдем а1:

225 = (30-a1)*(a1+20)

225 = 10a1 + 600 - (a1)²

(a1)² - 10a1 - 375 = 0 по т.Виета корни: (-15) и (25)

ПРОВЕРКА:

1) а1 = -15 --> q = 15/(-15+20) = 3 (3>1)

d = 15*(3-1) = 30 (30>0)

АП: -15; 15; 45 (возрастающая)

ГП: 5; 15; 45 и сумма членов 5+15+45 = 65 (все выполнено)

2) а1 = 25 -->

q = 15/(25+20) = 1/3 (1/3<1) не удовлетворяет условию задачи

d = 15*((1/3)-1) = 15*(-2/3) (d<0) не удовлетворяет условию задачи