Ответ:

По определению арккосинуса, если

   [arccos x = alpha , Rightarrow cos alpha  = x.]

Но в прямоугольном треугольнике косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

   [cos alpha  = frac{a}{c}.]

Нам нужен синус этого же угла альфа. А он равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

   [sin alpha  = frac{b}{c}.]

Противолежащий катет находим по теореме Пифагора:

   [b = sqrt {{c^2} - {a^2}} ]

Отсюда

   [sin (arccos x) = frac{{sqrt {{c^2} - {a^2}} }}{c},]

где

Примеры

1) Найти sin (arccos (1/3)).

В этом примере x=1/3, отсюда прилежащий катет a=1, гипотенуза c=3. Находим противолежащий катет b:

   [b = sqrt {{3^2} - {1^2}}  = sqrt 8  = 2sqrt {2.} ]

Отсюда

   [sin (arccos frac{1}{3}) = frac{{2sqrt 2 }}{3}.]

2) Найти sin (arccos (3/5)) (или sin (arccos  0,6)).

Арккосинус трех пятых — это число, косинус которого равен 3/5. Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Значит, прилежащий катет а=3, гипотенуза с=5. Отсюда противолежащий катет  — 4. Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Пошаговое объяснение: