Представим число в виде 523АВС

где А, В, С - последние три цифры.

Рассуждаем.

1) Признак делимости на 9. Если сумма цифр числа делится на 9, то само число делится на 9, тогда

(5 + 2 + 3 + А + В + С) = 10 + (А + В + С)  - должно делится на 9.

Отсюда видно, что ближайшая наименьшая сумма, которая делится на 9 это 18, 27, 36 и т.д., тогда

10 + (А + В + С) = 18   ⇒   (А + В + С) = 8

или

10 + (А + В + С) = 27  ⇒   (А + В + С) = 17 и т.д.

2) Рассмотрим признак делимости на 8. Число делится без остатка на 8, если его запись оканчивается тремя цифрами, образующими число, которое делится без остатка на 8, т.е.

(4А + 2В + С) - должно делится на 8, кроме того это число должно быть обязательно чётным.

Тат как произведение 4А и 2В - всегда будут чётными, то С - чётное

Значит С = 0, 2 , 4 , 6 или 8.

3) Произведём подбор чисел, пусть С = 0, тогда

(А + В + 0) = 8 или А + В = 8, т.к. сумма чётная, то слагаемые буду нечётные 1 , 3 , 5 , 7 или 9, отсюда подходят цифры

А + В = 1 + 7 = 8    ⇒  А = 1 ; В = 7

Проверим делимость на 8

(4А + 2В + С) = 4 * 1  + 2 * 7 + 0 = 4 + 14 = 18 - не делится на 8.

или А + В = 3 + 5 = 8    ⇒  А = 3 ; В = 5

Проверим делимость на 8

(4А + 2В + С) = 4 * 3  + 2 * 5 + 0 = 12 + 10 = 22 - не делится на 8.

Нет решения!

4) Произведём подбор чисел, пусть С = 2, тогда

(А + В + 2) = 8 или А + В = 6, т.к. сумма чётная, то слагаемые буду нечётные 1 , 3 , 5 , 7 или 9, отсюда подходят цифры

А + В = 1 + 5 = 6   ⇒  А = 1 ; В = 5

Проверим делимость на 8

(4А + 2В + С) = 4 * 1  + 2 * 5 + 2 = 4 + 10 + 2 = 16 - делится на 8.

Тогда получаем число 523152 - которое делится на 8 и на 9.

5) Проверим делимость число 523152 без остатка на 7. Если разность - это число без его последней цифры минус удвоенная последняя цифра - делится на 7, то и число само делится на 7, т.е.

523152 ;

52315 - 2 * 2 = 52311;

5231 - 2 * 1 = 5229;

522 - 2*9 = 504;

50 - 2 * 4 = 42 - делится на 7, значит и число 523152 делится на 7.

Ответ: 523152 - число делится на 7, 8, 9