Размещено 2 года назад по предмету Математика от lostintheabyss

Два спортсмени починають біг одночасно - перший з пункту A в B, а другий - з B в A. Вони біжать з неоднаковими, але постійними швидкостями і зустрічаються на відстані 300 м від A. Пробігши доріжку AB до кінця, кожний з них повертається назад і зустрічає другого на відстані 400 м від B. Знайдіть довжину AB.

Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан volna7

Відповідь:
Відстань між пунктами A та B дорівнює 500 метрів.
Покрокове пояснення:
Позначимо відстань між пунктами A та B як D метрів, швидкість першого спортсмена як X м/хв., та швидкість другого спортсмена як Y м/хв.
1) До першої зустрічі перший спортсмен ( що біг з А в В ) подолав відстань у 300 метрів, а другий спортсмен ( що біг з В в А ) подолав відстань у ( D - 300 ) метрів.
Для знаходження часу ( t ), що потрібно витратити спортсмену, щоб подолати відстань ( S ), за умови, що він рухається зі швидкістю ( V ) використовуємо формулу:
t = S/V
Для подолання необхідної відстані першому спортсмену було потрібно:
t1 = 300 / X хвилин,
a другому спортсмену:
t2 = ( D - 300 ) / Y хвилин.
Оскільки спортсмени зустрілись, то
t1 = t2
Отримаємо перше рівняння:
300 / X = ( D - 300 ) / Y
Знайдемо співвідношення швидкостей першого та другого спортсмена:
300 × Y = ( D - 300 ) × X
X / Y = 300 / ( D - 300 ) ( 1 )
2) Від першої до другої зустрічі перший спортсмен ( що біг з А в В ) подолав відстань у ( D - 300 ) метрів до пункту В, та 400 метрів від пункту В до місця другої зустрічі, а другий спортсмен ( що біг з В в А ) подолав відстань у 300 метрів до пункту А, та ( D - 400 ) метрів віж пункту А до місця другої зустрічі.
Загалом перший спортсмен подолав відстань у ( D - 300 + 400 ) = ( D + 100 ) метрів, а другий спортсмен подолав відстань у ( D - 400 + 300 ) = ( D - 100 ) метрів.
Для подолання необхідної відстані першому спортсмену було потрібно:
t3 = ( D + 100 ) / X хвилин,
a другому спортсмену:
t4 = ( D - 100 ) / Y хвилин.
Оскільки спортсмени зустрілись, то
t3 = t4
Отримаємо друге рівняння:
( D + 100 ) / X = ( D - 100 ) / Y
Знайдемо співвідношення швидкостей першого та другого спортсмена:
( D - 100 ) × X = ( D + 100 ) + Y
X / Y = ( D + 100 ) / ( D - 100 ) ( 2 )
3) Оскільки швидкості спортсменів були постійними на обох дільницях руху, то співвідношення швидкостей першого та другого спортсмена також були постійними на обох дільницях руху. З рівняннь ( 1 ) та ( 2 ) отримаємо:
300 / ( D - 300 ) = ( D + 100 ) / ( D - 100 )
300 / ( D - 300 ) - ( D + 100 ) / ( D - 100 ) = 0
Приведемо обидва дроба до спільного знаменника ( D - 300 ) × ( D - 100 ) та помножимо на нього обидві сторони рівняння:
300 × ( D - 100 ) - ( D + 100 ) × ( D - 300 ) = 0 × ( D - 300 ) × ( D - 100 )
Розкривая дужки отримаємо:
300D - 30 000 - D² + 300D + 30 000 - 100D = 0
Отримаємо квадратне рівняння:
-D² + 500D = 0
Знайдемо дискрімінант:
Dskr = ( 500 )² - 4 × ( -1 ) × 0 = 250 000
Знайдемо корні квадратного рівняння:
D1 = ( -500 + √ ( 250 000 ) / ( 2 × ( -1 )) = ( -500 + 500 ) / ( -2 ) = 0 / ( -2 ) = 0 метрів.
D2 = ( -500 - √ ( 250 000 ) / ( 2 × ( -1 )) = ( -500 - 500 ) / ( -2 ) = -1000 / ( -2 ) = 500 метрів.
Перший корінь ми відкидаємо оскільки відстань для змагань з бігу не може бути нульовою.
Отже відстань між пунктами A та B дорівнює 500 метрів.
Перевірка:
1) До першої зустрічі перший спортсмен ( що біг з А в В ) подолав відстань у 300 метрів, а другий спортсмен ( що біг з В в А ) подолав відстань у 500 - 300 = 200 метрів.
Для подолання необхідної відстані першому спортсмену було потрібно:
t1 = 300 / X хвилин,
a другому спортсмену:
t2 = 200 / Y хвилин.
Оскільки спортсмени зустрілись, то
t1 = t2
Маємо:
300 / X = 200 / Y
Співвідношення швидкостей першого та другого спортсмена:
X / Y = 200 / 300
X / Y = 2 / 3
2) Від першої до другої зустрічі перший спортсмен ( що біг з А в В ) подолав відстань у 500 - 300 = 200 метрів до пункту В, та 400 метрів від пункту В до місця другої зустрічі, а другий спортсмен ( що біг з В в А ) подолав відстань у 300 метрів до пункту А, та 500 - 400 = 100 метрів від пункту А до місця другої зустрічі.
Загалом перший спортсмен подолав відстань у 200 + 400 = 600 метрів, а другий спортсмен подолав відстань у 100 + 300 ) = 400 метрів.
Для подолання необхідної відстані першому спортсмену було потрібно:
t3 = 600 / X хвилин,
a другому спортсмену:
t4 = 400 / Y хвилин.
Оскільки спортсмени зустрілись, то
t3 = t4
Маємо:
600 / X = 400 / Y
Співвідношення швидкостей першого та другого спортсмена:
X / Y = 400 / 600
X / Y = 2 / 3
Оскільки швидкості спортсменів були постійними на обох дільницях руху, то співвідношення швидкостей першого та другого спортсмена також були постійними на обох дільницях руху.
Все вірно.