Ответ:

Пошаговое объяснение:

1. В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых президентских выборов. В стране ровно 20 000 000 избирателей, один процент которых (регулярная армия Анчурии) поддерживает Мирафлореса. Он хочет быть президентом, но, с другой стороны, хочет, чтобы выборы казались демократическими. «Демократическим голосованием» Мирафлорес называет вот что: всех избирателей разбивают на несколько равных групп, затем каждую из этих групп вновь разбивают на некоторое количество равных групп, затем эти последние группы снова разбивают на равные группы и так далее; в самых мелких группах выбирают представителя группы — выборщика, затем выборщики выбирают представителей для голосования в ещё большей группе и так далее; наконец, представители самых больших групп выбирают президента. Мирафлорес сам делит избирателей на группы. Может ли он так организовать выборы, чтобы его избрали президентом? (При равенстве голосов побеждает оппозиция.)

2. Дана сфера радиуса 1. На ней расположены равные окружности γ0, γ1, ..., γn радиуса r, где n > 2. Окружность γ0 касается всех окружностей γ1, ..., γn; кроме того, касаются друг друга окружности γ1 и γ2, γ2 и γ3, ..., γn и γ1. При каких n это возможно? Вычислите соответствующий радиус r.

3. а) На рисунке плоскость покрыта квадратами пяти цветов. Центры квадратов одного и того же цвета расположены в вершинах квадратной сетки. При каком числе цветов возможно аналогичное заполнение плоскости?

б) На другом рисунке плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что центры шестиугольников одного и того же цвета образуют вершины решётки из одинаковых правильных треугольников. При каком числе цветов возможно аналогичное построение?