Ответ:

Куб имеет 8 вершин. Чтобы найти количество способов выбрать три вершины куба, образующие прямоугольный треугольник, рассмотрим несколько возможных случаев.

Прямоугольный треугольник с вершинами на одной грани куба:

Выберем одну из граней куба. На каждой грани есть по 4 вершины. Мы можем выбрать 2 любые вершины на грани и третью вершину на одной из двух параллельных граней. Таким образом, для каждой грани есть 4 способа выбрать три вершины образующие прямоугольный треугольник. Всего у куба 6 граней, поэтому этот случай даёт нам 6 * 4 = 24 способа.

Прямоугольный треугольник, вершины которого находятся внутри куба:

Мы можем выбрать одну вершину куба любым из 8 возможных способов. Для второй вершины у нас остается 7 вариантов, так как мы не можем выбирать вершину находящуюся на той же грани куба, что и первая вершина. Для третьей вершины у нас остается 6 вариантов, по тем же причинам. Однако, при таком подходе мы посчитаем неуникальные треугольники два раза (например, треугольник ABC и треугольник CBA будут учтены как разные треугольники). Чтобы избежать этого, мы можем поделить полученное число на 2.

Таким образом, для второго случая количество способов выбрать три вершины образующие прямоугольный треугольник будет равно (8 * 7 * 6) / 2 = 168 способов.

Общее количество способов выбрать три вершины куба, образующие прямоугольный треугольник, будет равно сумме способов из первого и второго случаев: 24 + 168 = 192 способа.

Таким образом, существует 192 способа выбрать три вершины куба так, чтобы они были вершинами прямоугольного треугольника.