Размещено 1 год назад по предмету Математика от bibipka

Решить дифференциальное уравнение: y"-9y'=е^(2x)

Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан Artem112

Ответ:
$y=C_1+C_2e^{9x}-dfrac{1}{14} e^{2x}$
Решение:
Рассмотрим уравнение:
$y''-9y'=e^{2x}$
Составим и решим однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному:
$y''-9y'=0$
Его характеристическое уравнение:
$lambda^2-9lambda=0$
$lambda(lambda-9)=0$
$lambda_1=0; lambda_2=9$
Общего решения однородного дифференциального уравнения:
$Y=C_1e^{0x}+C_2e^{9x}=C_1+C_2e^{9x}$
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде:
$overline{y}=Ae^{2x}$
Найдем первую и вторую производную:
$overline{y}'=Acdot 2e^{2x}=2Ae^{2x}$
$overline{y}''=2Acdot2e^{2x}=4Ae^{2x}$
Подставим эти соотношения в исходное уравнение:
$4Ae^{2x}-9cdot 2Ae^{2x}=e^{2x}$
$-14Ae^{2x}=e^{2x}$
$-14A=1$
$A=-dfrac{1}{14}$
Тогда, частное решение имеет вид:
$overline{y}=-dfrac{1}{14} e^{2x}$
Находим общее решение исходного уравнения:
$y=Y+overline{y}$
$boxed{y=C_1+C_2e^{9x}-dfrac{1}{14} e^{2x}}$
Это же уравнение можно было решить, понизив его порядок.
$y''-9y'=e^{2x}$
Замена:
$y'=p$
$Rightarrow y''=p'$
Тогда, уравнение принимает вид:
$p'-9p=e^{2x}$
Функцию $p$ будем искать в виде произведения двух ненулевых функций:
$p=uv$
$Rightarrow p'=u'v+uv'$
Получим уравнение:
$u'v+uv'-9uv=e^{2x}$
Предположим, что сумма первого и третьего слагаемого в левой части равна 0:
$u'v-9uv=0$
Учитывая, что $vneq 0$ :
$u'-9u=0$
$dfrac{du}{dx} =9u$
$dfrac{du}{u} =9,dx$
$displaystyleintdfrac{du}{u} =int9,dx$
$ln u=9x$
$u=e^{9x}$
Тогда, второе слагаемое левой части равно правой части:
$uv'=e^{2x}$
Подставим найденную функцию:
$e^{9x}cdot v'=e^{2x}$
$v'=dfrac{e^{2x}}{e^{9x}}$
$v'=e^{-7x}$
$displaystyle v=int e^{-7x},dx$
$v=-dfrac{1}{7} e^{-7x}+C$
Находим функцию $p$ :
$p=uv=e^{9x}left(-dfrac{1}{7} e^{-7x}+Cright)=-dfrac{1}{7} e^{2x}+Ce^{9x}$
Обратная замена:
$y'=-dfrac{1}{7} e^{2x}+Ce^{9x}$
$displaystyle y=intleft(-dfrac{1}{7} e^{2x}+Ce^{9x}right),dx$
$y=-dfrac{1}{7}cdot dfrac{1}{2} e^{2x}+Ccdot dfrac{1}{9} e^{9x}+C_1$
$y=-dfrac{1}{14}e^{2x}+ dfrac{C}{9} e^{9x}+C_1$
Переобозначив $dfrac{C}{9} =C_2$ , получим ответ, идентичный найденному ранее:
$boxed{y=-dfrac{1}{14}e^{2x}+C_2e^{9x}+C_1}$
Элементы теории:
Общее решение данного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному, и частного решения данного неоднородного дифференциального уравнения.

Не тот ответ на вопрос, который вам нужен?

Найди верный ответ

Самые новые вопросы

Математика - 5 лет назад

Сколько здесь прямоугольников

История - 6 лет назад

Какое управление было в древнейшем риме? как звали первого и последнего из царей рима?

Литература - 6 лет назад

Уроки французского ответе на вопрос : расскажите о герое по следующему примерному плану: 1.почему мальчик оказался в райцентре ? 2.как он чувствовал себя на новом месте? 3.почему он не убежал в деревню? 4.какие отношения сложились у него с товарищами? 5.почему он ввязался в игру за деньги? 6.как характеризуют его отношения с учительницей ? ответе на эти вопросы пожалуйста ! сочините сочинение пожалуйста

Русский язык - 6 лет назад

Помогите решить тест по русскому языку тест по русскому языку «местоимение. разряды местоимений» для 6 класса 1. укажите личное местоимение: 1) некто 2) вас 3) ни с кем 4) собой 2. укажите относительное местоимение: 1) кто-либо 2) некоторый 3) кто 4) нам 3. укажите вопросительное местоимение: 1) кем-нибудь 2) кем 3) себе 4) никакой 4. укажите определительное местоимение: 1) наш 2) который 3) некий 4) каждый 5. укажите возвратное местоимение: 1) свой 2) чей 3) сам 4) себя 6. найдите указательное местоимение: 1) твой 2) какой 3) тот 4) их 7. найдите притяжательное местоимение: 1) самый 2) моего 3) иной 4) ничей 8. укажите неопределённое местоимение: 1) весь 2) какой-нибудь 3) любой 4) этот 9. укажите вопросительное местоимение: 1) сколько 2) кое-что 3) она 4) нами 10. в каком варианте ответа выделенное слово является притяжательным местоимением? 1) увидел их 2) её нет дома 3) её тетрадь 4) их не спросили

Русский язык - 6 лет назад

Переделай союзное предложение в предложение с бессоюзной связью. 1. океан с гулом ходил за стеной чёрными горами, и вьюга крепко свистала в отяжелевших снастях, а пароход весь дрожал. 2. множество темноватых тучек, с неясно обрисованными краями, расползались по бледно-голубому небу, а довольно крепкий ветер мчался сухой непрерывной струёй, не разгоняя зноя 3. поезд ушёл быстро, и его огни скоро исчезли, а через минуту уже не было слышно шума

Русский язык - 6 лет назад

помогите прошу!перепиши предложения, расставляя недостающие знаки препинания. объясни, что соединяет союз и. если в предложении один союз и, то во втором выпадающем списке отметь «прочерк».пример:«я шёл пешком и,/поражённый прелестью природы/, часто останавливался».союз и соединяет однородные члены.ночь уже ложилась на горы (1) и туман сырой (2) и холодный начал бродить по ущельям.союз и соединяет:1) части сложного предложенияоднородные члены,2) однородные членычасти сложного предложения—.поэт — трубач зовущий войско в битву (1) и прежде всех идущий в битву сам (ю. янонис).союз и соединяет:1) части сложного предложенияоднородные члены,2)

Физика - 6 лет назад

Вокруг прямого проводника с током (смотри рисунок) существует магнитное поле. определи направление линий этого магнитного поля в точках a и b.обрати внимание, что точки a и b находятся с разных сторон от проводника (точка a — снизу, а точка b — сверху). рисунок ниже выбери и отметь правильный ответ среди предложенных.1. в точке a — «от нас», в точке b — «к нам» 2. в точке a — «к нам», в точке b — «от нас» 3. в обеих точках «от нас»4. в обеих точках «к нам»контрольная работа по физике.прошу,не наугад важно

Информация

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Что ты хочешь узнать?

Задай вопрос

Сайт znanija.org не имеет отношения к другим сайтам и не является официальным сайтом компании.