Для нахождения скалярного произведения ( mathbf{a} cdot mathbf{b} ) используется формула:

[ mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| cdot |mathbf{b}| cdot cos(alpha) ]

Где ( |mathbf{a}| ) и ( |mathbf{b}| ) - это длины векторов ( mathbf{a} ) и ( mathbf{b} ), соответственно.

Известно, что ( |mathbf{a}| = 8 ), ( |mathbf{b}| = 5 ), а угол между ними ( alpha = 150^circ ). Подставим значения:

[ mathbf{a} cdot mathbf{b} = 8 cdot 5 cdot cos(150^circ) ]

[ mathbf{a} cdot mathbf{b} = 40 cdot cos(150^circ) ]

Теперь, чтобы найти значение ( cos(150^circ) ), мы можем использовать известное тригонометрическое тождество ( cos(150^circ) = -cos(30^circ) ). Таким образом:

[ mathbf{a} cdot mathbf{b} = 40 cdot (-cos(30^circ)) ]

[ mathbf{a} cdot mathbf{b} = 40 cdot (-frac{sqrt{3}}{2}) ]

[ mathbf{a} cdot mathbf{b} = -20sqrt{3} ]

Таким образом, скалярное произведение ( mathbf{a} cdot mathbf{b} ) равно ( -20sqrt{3} ).