Cумма  нескольких из чисел делится на 5,тогда и только когда сумма их  остатков от  деления на 5  делится на 5.(Остатки могут быть  от 1  до 4  тк не  делится)
Докажем что если среди 5 целых  чисел   все числа  лежат на промежутке N[1;4] то  найдутся  несколько чисел делящихся на 5.
Естественно  можно рассмотреть все варианты но  это весьма длительный процесс ( из за возможности повторений).
Предположим что есть  такие 5  чисел,что  никакая сумма  нескольких из них не делится на 5.
То  предположим что это множество имеет цифру 2.
если оно  имеет цифру 2,то  не может  иметь цифру 3.  Иначе  сумма уже будет 5.
То  она еще  может содержать  либо  только  цифру 1 или  цифру 4.
Или иметь  каждую цифру одновременно. Но  одновременно  так быть не может тк сумма 1 и 4  равна 5. 
Так к чему  же это я :)
цифры 1 2 3 4 можно разбить  по парам 1+4=5 и 2+3=5
То  руководствуясь  рассуждениями  выше их можно применить и для  остальных цифр по  уже ясному принципу.
Таким образом если такая  пара существует.  То  она содержит  в себе только 2   вида цифр,сумма которых  не равна 5 :)
Это  сильно облегчает задачу. то нужно рассмотреть  следующие варианты: (причем взаимно симетричные варианты отсекаются и считаются как 1)
Пусть  чисел есть.
m двоек (5-m) единиц
m двоек (5-m) четверок
m троек (5-m) единиц
m  троек (5-m) четверок
все  остальные варианты взаимно симетричны с данными.
то область  поиска этой пятерки ограничивается  следующими вариантами:
11111 1+1+1+1+1
11112   2+1+1+1
11122 1+1+1+2
11222 2+2+1
12222  2+2+1
22222  2+2+2+2+2
11113 3+1+1
11133 3+1+1
11333  3+1+1
13333 3+3+3+1
33333 3+3+3+3+3
33334 3+3+4
33344 3+3+4
33444  3+3+4
34444  4+4+4+3
44444  4+4+4+4+4
44442 4+4+2
44422 4+4+2
44222 4+4+2
42222 2+2+2+4
Вот и все варианты  во всех их можно найти  числа сумма которых делестя  на 5. (Слева обозначены  вырианты)
Таким образом  мы пришли  к противоречию,то  нельзя найти такие 5  чисел   на интервале [1;4],что  никакая  сумма  нескольких из них  не делится на 5. То  среди любых таких 5 чисел  найдутся числа сумма которых равна 5.
То  из вышесказанного  следует  что если все 5   любых   натуральных чисел не делятся на 5,то  среди них найдутся  числа сумма которых  делится на 5.
Желаю удачи,cпасибо за интересный   вопрос!!!