Это была начинающая талантливая артистка (1), которая, чтобы получить признание публики (3), должна была неустанно трудиться над сценическим мастерством (2).

Сложноподчиненное предложение, в котором есть одна главная часть и две придаточные:

Это была начинающая талантливая артистка (1) - главная часть

...которая должна была неустанно трудиться над сценическим мастерством (2) - первая придаточная часть

....чтобы получить признание публики (3) - вторая придаточная часть

Соответственно, первая запятая отделяет главную часть от подчиненных частей, а последующие две запятые обособляют придаточную часть, которая находится внутри второго предложения.