1. Синтаксический разбор.
Бородач стал трясти, |заснувшего опустив голову на колени|, молодого солдата.
Грамм. основа:
подлеж.___ - бородач
сказ.=== - стал трясти (сост. глаг.)
Второстеп. чл. предл.:
доп._ _ _ - солдата
опред.~~~ - молодого; |заснувшего опустив голову на колени| (прич. оборот, подчеркивать как один член предложения!).  

Предложение  повеств., невоскл., прост., двусост., полн., распр., осложнено обособл. определением (прич. оборотом).  

2. Пунктуационный разбор. 
Бородач стал трясти,1 |заснувшего опустив голову на колени|,2 молодого солдата.3

1.       Точка (3) – знак завершения повеств., невоскл. предл.
2.       Запятые (1 и 2) выделяют обособленное определение, выраженное прич. оборотом.
Пояснение: дееприч. оборот обозначает добавочное действие не к сказуемому, а к причастию, от которого и зависит, поэтому входит в состав причастного оборота и не обособляется запятой.

3. Морфемный разбор:
за-сн-у-вш-его,
о-пуст-и-в,
за-тих-а-я,
у-сил-ива-я-сь  
***Корни ͡   выделены жирным шрифтом;
перед корнем – приставки ¬;
только в слове заснувшего  есть окончание□ (-его);
после корня – суффиксы ˄.
Основы: заснувш-, опустив, затихая, усиливаясь.  

4. Морфологический разбор.
Заснувшего – причастие.
I. Солдата (какого?) заснувшего.
   Н. ф. – заснувший.
II.Пост.: действ., сов. в., прош. вр.;
   непост.: ед. ч., м. р., В. п.
III.Солдата (какого?) заснувшего (опред.~~~)  

Опустив – деепричастие.
I. Заснувшего (как?) опустив (голову на колени).
II.Морф. пр.: перех., сов. в., неизм.
III.Заснувшего (как?) опустив (голову на колени)
                                  (часть прич. оборота, т. е. часть опред.~~~).