Подсолнечник – название рода травянистых растений с жёлтым соцветием-корзинкой, заполненным семенами. Наиболее часто употребляется как научное название растения, так и как название сельскохозяйственной культуры. Произношение “подсолнешник” устаревает.
Мы изучали биологические особенности подсолнечника.
Вдоль всей дороги рос подсолнечник. 
В нашей области в этом году большие посевы подсолнечника.
Закупочная цена подсолнечника в этом году.

Подсолнух – то же, что и “подсолнух”, в некоторых словарях приведено с пометкой “разговорное”. Чаще употребляется по отношению к отдельно растущему растению.
У нас на огороде вырос большой подсолнух.
Сидя не дереве мы клевали семечки подсолнуха.
Подсолнух был огромным и спелым. 
Ваня нарисовал поле с подсолнухами.

Подсолнешник – допустимо только произношение через “шн”.