Ответ:

1. Я вышел на улицу, когда прошёл дождь.

   Схема: [    ], когда (   ).

2. Мальчик катался на новом велосипеде, который подарил ему папа.

   Схема: [    ], который (   ).

3. Письмо, что ты написал, очень меня обрадовало.

   Схема: [ , что (   ),  ].

4. Он отвёл меня в лес, где росло много грибов.

   Схема: [    ], где (   ).

5. Мы с удовольствием смотрели, как наш друг первым приходит к финишу.

   Схема: [    ], как (   ).

6. Я пошёл домой, чтоб немного отдохнуть и поспать.

   Схема: [    ], чтоб (   ).

7. Тот самый парень, который вчера гулял с собакой, опять шёл там, но уже без собаки.

   Схема: [  , (который),  но  ].

Обратите внимание, что "который" в этом предложении - союзное слово.

8.  Я не пошёл в школу, потому что у меня болела голова.

   Схема: [    ], потому что (   ).

9. Только благодаря тому, что мы удержались как коллектив единомышленников, журнал сохранил своё лицо.

   Схема: [  благодаря тому, что (   ),  ].

10. Взимаемая комиссия также резко сокращается, поскольку снижается себестоимость переводов. 

   Схема: [    ], поскольку (   ).

11.  Мне бы тот найти образок, оттого что мой близок срок (Ахматова)

   Схема: [    ], оттого что (   ).

12. Я никогда доселе не называл тебя сестрою моею, затем что не мог быть братом твоим, затем что мы были неровня, затем что ты во мне обманулась! (Достоевский)

   Схема: [    ], затем что (   ), затем что (   ), затем что (   ).

13. Она трудилась добросовестно, так что метёлки из пальмовых листьев приходилось менять каждые полчаса. (Дорофеев)

   Cхема: [    ], так что (    ).

14. Если  я стану президентом, то снижу налоги.

   Схема: (Если), то [    ].

15. Пришлось свернуть работы в связи с тем, что месторождение оказалось непригодным к промышленной эксплуатации. (Скворцов)

   Схема: [    в связи с тем], что (   ).