1. Ломит он у дуба сук и в тугой сгибает лук.

Ломит (сказ.) он (подл., и.п.) сук (дополн., в.п.).

[сгибает В ЛУК → винительный падеж с предлогом!]

2. Коршун в море кровь пролил.

Коршун (подл., и.п.) кровь (дополн., в.п.) пролил (сказ.).

3. Лук царевич опустил.

Лук (дополн., в.п.) царевич (подл., и.п.) опустил (сказ.).

4. К морю лишь подходит он, вот и слышит будто стон.

Подходит (сказ.) он (подл., и.п.), слышит (сказ.) стон (дополн., в.п.).

5. Мать и сын теперь на воле; видят холм в широком поле.

Мать (подл., и.п.) и сын (подл., и.п.) видят (сказ.) холм (дополн., в.п.).

6. Вот открыл царевич очи.

Открыл (сказ.) царевич (подл., и.п.) очи (дополн., в.п.).

Какую ошибку можно допустить при определении подлежащего и дополнения?

Подлежащее и дополнение отвечают на один вопрос ЧТО?/КТО? Важно их не перепутать.