Ответ:

1. Роману на день рождения купили компьютер, теперь

он всё свободное время проводит в Интернете. - получается, что весь день в интернете проводит компьютер.))

Исправляем:

Роману на день рождения купили компьютер, теперь

мальчик всё свободное время проводит в Интернете.

2. Пушкин отдал поэму «Медный всадник» на рецензию Николаю І. Он был возвращён поэту с замечаниями государя. - Отдал поэму (ж.р.)

Исправляем:

Пушкин отдал поэму «Медный всадник» на рецензию Николаю І. Она была возвращена поэту с замечаниями государя.

3. Когда он был на озере, он увидел там дерево необычной формы. - Тавтология, дважды употреблено местоимение ОН.

Исправляем:

Когда он был на озере, то увидел там дерево необычной формы.

4. У неё нет ни стыда, ни совести. - с местоимением все верно, а вот запятая - лишняя, потому что в выражении  ни стыда ни совести - устойчивое выражение с повторяющейся частицей НИ

Исправляем:

У неё нет ни стыда ни совести.