Ответ:

1) Проснувшись завтра, я увижу за окном ноябрь.

2)Наблюдая за спортсменом, вы можете задаться вопросом о системе его тренировки.

3) Когда я узнал его достаточно хорошо, наша дружба окрепла.

4)Когда я слушал эти истории, во мне взыграло самолюбие.

5) Глядя на это положение дел, мы ускорили работы.

Объяснение:

Деепричастный оборот относится к определяемому слову, которое выражено глаголом и этот глагол является сказуемым. Чтобы найти ошибку, нужно найти грамматическую основу и посмотреть, к какому слову относится деепричастный оборот.

В 1 предложении гр. основа- ноябрь будет. Сказуемое БУДЕТ должно быть определяемым словом, к которому должен относиться дееприч. оборот. Задаём вопрос.

Ноябрь будет (что сделая?), проснувшись завтра. Бред. Проснёмся завтра мы, а не ноябрь. Переделаем предложение. Теперь гр. основа-я увижу.

Я увижу ноябрь(что сделая?), проснувшись завтра.

Во 2 предложении та же история:

Вопрос может возникнуть( что делая?), наблюдая за спортсменом. Но наблюдать будет не вопрос, а мы. Переделаем:

Вы можете задаться вопросом(что делая?), наблюдая за спортсменом.

В 3 дружба оклепла, узнав. Дружба ничего не узнаёт. Узнаю друга я.

В 4 самолюбие взыграло, слушая. Самолюбие ничего не слушает. Истории слушаю я.

В 5 работы были ускорены,глядя. Работы глядеть не могут. А мы можем.