1) Он сделал это работу лучше, чем в прошлый раз/кто-то другой. (степень сравнения)

2) В дали от родины с глубиной чувствует свою ответственность за то, что происходит дома. (подходящий предлог)

3) Я ее страстно люблю, а она ко мне равнодушна. (синоним в этом контексте не уместен)

4) За прошлый год был всего один случай, когда работник предприятия явился на роботу опохмеленным. (предлог не нужен)

5) По окончанию школы я могу поступить на второй курс института. (подходящий глагол в нужной форме)

 Он сделал свою работу лучше остальных.(или лучше, чем раньше) В данном случае слово "более" неуместно, т.к. оно употребляется в составной форме сравнительной степени. "Лучше" -- простая сравнительная степень.

  Вдали от Родины глубже чувствуешь свою ответственность......

3. В этом предложении недопустимо употребление термина(профессионализма), слово "индеферентный" скорее используется в научной литературе.

4.ТО же самое, только наоборот.Здесь подойдет выражение "в нетрезвом виде",т.к. стиль официально-деловой, выражение"под хмельком"-- разговорная речь.

5. Правильно употребляется "по окончании"