4) Сразу упрощаю:

∫x^3 dx + 2∫xdx + ∫dx/x = 

x^4 / 4 + x^2 + ln(x) + C;

5) Я не изучал такие интегралы официально в вузе, поэтому расписывать буду как умею.

∫e^(5*x^2 - 2) * x dx;

Использую метод замены в неопр. интеграле.

x*dx = d(x^2 / 2); Далее можно вынести двойку за знак дифференциала.

x*dx = 1/2 * d(x^2);

Я хочу, чтобы под дифференциалом была функция (5*x^2 - 2)

Делаем вот как (умножаем на 5 и делим на 1/5):
x*dx = 1/2 * d(x^2) = 5 * (1/5) * (1/2) * d(x^2);

Пятёрку засовываем под дифференциал:
x*dx = (1/5) * (1/2) * d(5*x^2);
x*dx = 1/10* d(5*x^2 - 2);

Ну и в конце я надписал -2, так как это можно делать, не теряя равенства.

∫e^(5*x^2 - 2) * x dx =
= ∫e^(5*x^2 - 2) * (1/10) * d(5*x^2 - 2);

1/10 выносим вперёд:
1/10 * ∫e^(5*x^2 - 2) * d(5*x^2 - 2);

Ну а далее используем табличный интеграл ∫e^x = e^x + C.
Только вместо икса сложная функция (5*x^2 - 2).

Карочь:
∫e^(5*x^2 - 2) * d(5*x^2 - 2) = e^(5*x^2 - 2) + C.