Попробуем решить...

Чтобы можно было упростить выражение с помощью треугольников, я хотел бы избавиться от минуса, чтобы оказаться в пределах от 0 до 90 градусов...

Мы помним, что арктангенс – функция нечётная, то есть минус можно вынести:

sin(arctg(-3/4)) = sin(-arctg(3/4)).

Синус тоже не.чётная функция:

sin(-arctg(3/4)) = -sin(arctg(3/4)).

Отлично! Теперь поработаем с треугольником (на скриншоте):

https://pp.userapi.com/c848532/v848532096/aba9/NjupZYx_A3Q.jpg

На скриншоте мы выявили, что sin(arctg(x)) = x / (sqrt (x^2 + 1).

Всё, что остаётся, это подставить вместо икса 3/4, но и минус не забудьте!

-sin(arctg(x)) =
= -x / sqrt (x^2 + 1) =

= (-3/4) / sqrt ((3/4)^2 + 1) = 
= (-3/4) / sqrt (9/16 + 16/16) = 
= (-3/4) / sqrt (25/16) = 
= (-3/4) / (5/4) = 
= 3/5

Ответ: 3/5

Решить можно было бы более быстро. После выноса минуса, достаточно было допереть, что мы имеем дело с пифагоровым треугольником со сторонами: 3 (катет), 4 (катет) и 5 (гипотенуза).