Доведення:

Для доведення того, що значення виразу 254³+238³ ділиться націло на 123, розглянемо числа 254 і 238 за модулем 123:

254 ≡ 108 (mod 123)
238 ≡ 115 (mod 123)


Тоді вираз можна записати як:

254³+238³ ≡ 108³+115³ (mod 123)


Тепер використовуємо тотожність для суми кубів:

a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)


Застосувавши її до виразу, отримаємо:

108³+115³ = (108+115)(108²-108·115+115²)


Далі розрахуємо складові:

108+115 = 223 ≡ 0 (mod 123)
108² = 11664 ≡ 110 (mod 123)
108·115 = 12420 ≡ 110 (mod 123)
115² = 13225 ≡ 110 (mod 123)


Замінивши значення, отримаємо:

108³+115³ ≡ 0·(110²-110·110+110²)


Подальші спрощення:

108³+115³ ≡ 0·(110²-2·110²+110²)


108³+115³ ≡ 0·0


108³+115³ ≡ 0 (mod 123)


Оскільки результат виразу за модулем 123 дорівнює 0, це означає, що вираз 254³+238³ повністю ділиться на 123.

Висновок:

Отже, ми довели, що значення виразу 254³+238³ ділиться націло на 123.