r=d1*d2/(4a),

где d1 и d2 - диагонали ромба

      a - сторона

      a^2=(d1/2)^2+(d2/2)^2

      a^2=(12/2)^2+(16/2)^2=6^2+8^2=36+64=100

      a=sqrt(100)=10 - сторона ромба,

тогда

      r=12*16/(4*10)= 192/40=4,8

Пусть АВСD - данный ромб. АС = 16 см, ВD = 12 см. О - точка пересечения диагоналей и центр вписанной окружности.

1. Из треугольника АОВ находим сторону ромба.

АО = ½ АС = 8 см, ВО = ½ ВD = 6 см - (свойство диагоналей параллелограма).

АВ² = АО²+ВО² - (теорема Пифагора)

АВ = 10 см

2. В точку касания окружности к стороне АВ (обозначим ее К) проводим радиус ОК.  ОК перпендикулярно АВ.

3. Рассмотрим два прямоугольных треугольника АКО и ВКО.

По теореме Пифагора:

ОК² = АО² - АК² 

ОК² = ВО² - КВ²

4. Приравниваем правые части полученных равенств, так как левые равны.

АО² - АК² = ВО² - КВ²  

Пусть АК = х, тогда КВ = 10 -х. Имеем:

64 - х² = 36 - (10 - х)²

64 - х² - 36 + 100 - 20х + х² = 0

20х = 128

х = 6,4 

АК =  6,4 см.

5. Из равенства  ОК² = АО² - АК² находим радиус.

ОК² = 64 - 40,96 = 23,04

ОК = 4,8 см.

Ответ. 4,8 см.