Теорема о бабочке.

В окружности проведена произвольная хорда PQ.

T - середина PQ.

Через точку T проведены хорды AA1 и BB1.

AB1 и BA1 пересекают PQ в точках X и Y.

Тогда T - середина отрезка XY.

Доказательство.

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

OD, OT, OE - серединные перпендикуляры к хордам AB1, PQ, BA1.

∠B1AA1 =∠A1BB1 (вписанные углы, опирающиеся на дугу A1B1)

∠AB1B =∠BA1A (вписанные углы, опирающиеся на дугу AB)

△B1AT~△A1BT (по углам)

∠B1DT=∠A1ET (соответствующие элементы)

DXTO и EYTO - вписанные ч-ки (т.к. противоположные углы прямые)

∠XDT=∠XOT, ∠YET=∠YOT => ∠XOT=∠YOT

OT - высота и биссектриса в △XOY, следовательно и медиана, XT=TY

Задача.

AA1, BB1 - высоты, H - ортоцентр

Сторона AB видна из точек B1 и A1 под прямым углом - точки A-B1-A1-B лежат на окружности диаметром AB.

M - середина AB, центр окружности.

MH и PQ - перпендикулярные прямые, проходящие через ортоцентр.

Перпендикуляр MH из центра к хорде PQ делит её пополам.

Тогда H - середина PQ и по теореме о бабочке - середина отрезка XY.