Объяснение:

### Варіант 1

#### Середній рівень

**1° (1 бал). Радіуси двох кіл дорівнюють 7 см і 4 см. Знайдіть відстань між їхніми центрами у випадках внутрішнього і зовнішнього дотику.**

1. **Внутрішній дотик:**

- При внутрішньому дотику відстань між центрами кіл дорівнює різниці їх радіусів.

- Відстань між центрами: (7 , text{см} - 4 , text{см} = 3 , text{см}).

2. **Зовнішній дотик:**

- При зовнішньому дотику відстань між центрами кіл дорівнює сумі їх радіусів.

- Відстань між центрами: (7 , text{см} + 4 , text{см} = 11 , text{см}).

**2° (2 бали). Побудуйте ΔАКМ, якщо АК = 6 см, КМ = 3 см, АМ = 4 см.**

Для побудови трикутника ΔАКМ виконаємо наступні кроки:

1. Побудуйте відрізок АК довжиною 6 см.

2. Побудуйте коло з центром в точці К і радіусом 3 см (довжина КМ).

3. Побудуйте коло з центром в точці А і радіусом 4 см (довжина АМ).

4. Відмітьте точку перетину кіл, яка буде точкою М.

5. З'єднайте точки А, К і М.

### Достатній рівень

**1 (1 бал). Пряма АВ дотична до кола С із центром у точці О. Якщо ∠АОС = 118°, знайдіть ∠САВ.**

- Відомо, що кут між радіусом кола і дотичною дорівнює 90°.

- Розглянемо чотирикутник АОСВ.

- ∠АОС + ∠АОВ = 180° (як сума внутрішніх кутів чотирикутника).

- ∠АОВ = 180° - 118° = 62°.

- ∠САВ = 90° - ∠АОВ = 90° - 62° = 28°.

**2 (2 бали). Побудуйте рівнобедрений трикутник, у якого основа дорівнює 7 см, а висота, проведена до основи, - 5 см.**

Для побудови рівнобедреного трикутника з основою 7 см і висотою 5 см виконайте наступні кроки:

1. Побудуйте відрізок АВ довжиною 7 см (основа трикутника).

2. Знайдіть середину основи і позначте її як точку О (довжина ОА і ОВ буде по 3.5 см).

3. Побудуйте перпендикуляр до основи через точку О і відкладіть на ньому відрізок ОС довжиною 5 см (висота трикутника).

4. З'єднайте точки С з А і В.

### Високий рівень

**1 (1 бал). Прямі РА і РВ дотикаються до кола із центром О в точках А і В. Знайдіть АВ, якщо РО = 10 см, а ОА = 6 см.**

- Відомо, що відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні.

- Тому, РА = РВ.

- ΔРАО і ΔРВО є прямокутними з кутом 90° при точках А і В відповідно.

- За теоремою Піфагора: (РА = sqrt{РО^2 - ОА^2} = sqrt{10^2 - 6^2} = sqrt{100 - 36} = sqrt{64} = 8 , text{см}).

- Відрізок АВ складається з двох радіусів ОА і ОВ, які рівні 6 см: АВ = ОА + ОВ = 6 см + 6 см = 12 см.