Ответ:

Давайте разберем обе задачи по очереди.

### Задача 3

У нас есть правильная усеченная треугольная пирамида с основаниями, равными 3 см и 15 см, и боковым ребром, равным 10 см. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

1. В правильной усеченной треугольной пирамиде основание является правильным треугольником, поэтому сначала найдем высоту правильного треугольника.

Для треугольника с длиной стороны (a):

[

h = frac{sqrt{3}}{2}a

]

2. Найдем высоты оснований (h_1) и (h_2):

[

h_1 = frac{sqrt{3}}{2} times 3 = frac{3sqrt{3}}{2} approx 2.6 text{ см}

]

[

h_2 = frac{sqrt{3}}{2} times 15 = frac{15sqrt{3}}{2} approx 13 text{ см}

]

3. Расстояние между основаниями усеченной пирамиды ((d)) находится по теореме Пифагора из бокового ребра (10 см) и высот (найденных выше):

[

d = sqrt{10^2 - left(frac{15 - 3}{2}right)^2} = sqrt{100 - 36} = sqrt{64} = 8 text{ см}

]

4. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды состоит из 3 трапеций. Для трапеции со сторонами (a_1) и (a_2), и высотой (d):

[

A = frac{1}{2} (a_1 + a_2) cdot d

]

Где (a_1 = 3 text{ см}), (a_2 = 15 text{ см}), (d = 8 text{ см}):

[

A = frac{1}{2} (3 + 15) cdot 8 = frac{1}{2} cdot 18 cdot 8 = 72 text{ см}^2

]

Площадь боковой поверхности пирамиды равна:

[

S = 3 cdot A = 3 cdot 72 = 216 text{ см}^2

]

### Задача 4

Основание призмы — параллелограмм со сторонами 8 см и 15 см и острым углом 60°. Найдем площадь боковой поверхности призмы.

1. Найдем высоту параллелограмма, используя известные стороны и угол:

[

h = 8 cdot sin(60^circ) = 8 cdot frac{sqrt{3}}{2} = 4sqrt{3} approx 6.93 text{ см}

]

2. Площадь параллелограмма:

[

S_{text{осн}} = 8 cdot h = 8 cdot 4sqrt{3} = 32sqrt{3} text{ см}^2

]

3. Для нахождения площади диагонального сечения нужно использовать соотношение диагоналей в параллелограмме. Пусть (d_1) и (d_2) — диагонали. Площадь диагонального сечения равна 130 см², и она является ромбом, разрезающим призму пополам. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

[

2 cdot frac{1}{2} d_1 d_2 = 130 text{ см}^2 Rightarrow d_1 d_2 = 130 text{ см}^2

]

Высота параллелограмма также связана с его сторонами, следовательно, получаем высоту призмы (h_text{призма}).

4. Площадь боковой поверхности прямой призмы:

[

S_{text{бок}} = P_{text{осн}} cdot h_{text{призма}}

]

где (P_{text{осн}}) — периметр основания:

[

P_{text{осн}} = 2(8 + 15) = 2 cdot 23 = 46 text{ см}

]

Если диагональ разрезает параллелограмм пополам, и высота призмы равна стороне параллелограмма:

[

h_{text{призма}} = sqrt{8^2 + 15^2 - 2 cdot 8 cdot 15 cdot cos(60^circ)} = sqrt{64 + 225 - 120} = sqrt{169} = 13 text{ см}

]

5. Подставим значения:

[

S_{text{бок}} = 46 cdot 13 = 598 text{ см}^2

]

Таким образом, площадь боковой поверхности прямой призмы равна 598 см².