Ответ:

Для початку знайдемо радіус кола, описаного навколо трикутника. Для цього скористаємося формулою для обчислення радіуса описаного кола в трикутнику за його сторонами:

R = a · b · c/4S,

де a, b, c - сторони трикутника, а S - його площа, яку можна знайти за формулою Герона:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

де p - півпериметр трикутника, тобто p = a+b+c/2.

Отже, для нашого трикутника зі сторонами 5 см і 8 см, отримаємо:

p = 5+8+x/2 = 13+x/2,

S = √(13+x/2·x/2·13/2·8/2) = √((13+x)x·13·8/64),

R = 5·8· x/4·√((13+x)x·13·8/64) = 40x/√((13+x)x·13·8).

Також, за умовою задачі відомо, що третя сторона трикутника дорівнює V3 разів більше радіуса описаного кола. Тобто треба знайти таке x, щоб виконувалась умова:

V3R = 3R < x.

Після підстановки виразу для R отримаємо:

3·40x/√((13+x)x·13·8) < x.

Ця нерівність має два розв'язки: один припустимий (коли x > 0) і один неприпустимий (коли x < 0).