Размещено 4 месяца назад по предмету Геометрия от WhiteCryle

У правильній трикутній призмі через сторону нижньої основи і
протилежну вершину верхньої проведено переріз площею S, який
утворює з площиною основи кут α . Знайти бічну поверхню циліндра,
описаного навколо даної призми.

Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан natalyabryukhova
Ответ:
Площадь боковой поверхности цилиндра равна $displaystyle frac{4sqrt{3}pi S;sin;alpha }{3}$ ед².
Объяснение:
В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхней стороны проведено сечение площадью S, которое образует с плоскостью основания угол α . Найти боковую поверхность цилиндра, описанного вокруг данной призмы.
Дано: ABCA₁B₁C₁ - правильная призма;
АВ₁С - сечение; S(AB₁C) = S; (AB₁C)^(ABC) = α.
Цилиндр описан около призмы.
Найти: Sбок. цилиндра.
Решение:
В основании правильной призмы лежит правильный треугольник.
Пусть сторона ΔАВС = а.
Определим угол между (AB₁C) и (ABC).
Угол между плоскостями равен углу между двумя перпендикулярами к линии пересечения, проведенные в этих плоскостях.
(AB₁C) ∩ (ABC) = АС
Проведем ВН ⊥ АС. Соединим Н и В₁.
ВВ₁ ⊥ (АВС) ⇒ ВН - проекция В₁Н на (АВС)
Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и ей самой.
⇒ В₁Н ⊥ АС
(AB₁C)^(ABC) = ∠В₁НВ = α
Рассмотрим ΔАВ₁С
$displaystyle S(AB_1C)=frac{1}{2}ACcdot B_1H\ \frac{1}{2}acdot B_1H=S;;;Rightarrow ;;;B_1H=frac{2S}{a}$
Рассмотрим ΔВВ₁Н - прямоугольный.
Синус угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе.
$displaystyle sin;alpha =frac{BB_1}{B_1H};;;Rightarrow ;;;BB_1=B_1Hcdot sin;alpha =frac{2S;sin;alpha }{a}$
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника равна:
$displaystyle R=frac{a}{sqrt{3} }$
Площадь боковой поверхности цилиндра найдем по формуле:
Sбок. = 2πRh,
где R - радиус основания, h - высота цилиндра.
Sбок. = 2πR · BB₁ =
$displaystyle =2pi cdot frac{a}{sqrt{3} } cdot frac{2S;sin;alpha }{a}=frac{4pi S;sin;alpha }{sqrt{3} } =frac{4sqrt{3}pi S;sin;alpha }{3}$
Площадь боковой поверхности цилиндра равна $displaystyle frac{4sqrt{3}pi S;sin;alpha }{3}$ ед².
#SPJ1