Конечно, высота пирамиды легко вычисляется "стандартным" способом. Проекцией ребра на основание служит половина диагонали квадрата в основании, которая равна, очевидно, корень(2)*корень(2)/2 = 1. Вместе с высотой пирамиды эта проекция образует прямоугольный треугольник, гипотенузой которого служит боковое ребро, откуда высота тоже равна 1. Откуда получается ответ - объем равен (корень(2))^2*1/3 = 2/3.

Но...

Поскольку это половина окртаэдра, эту задачу можно решить вот как (не надо пугаться, что это какой-то координатный метод, просто так наглядно :)) - расположим эту пирамиду в трехмерной системе координат следуюшим образом - пусть её вершины лежат в точках (1,0,0) (0,1,0) (-1,0,0) (0,-1,0) (0,0,1). Не трудно убедится, что у такой пирамиды все ребра равны корень(2), поскольку именно такое расстояние между любой из этих точек и ближайшей к ней (ну, например, точка (1,0,0) на оси X и точка (0,1,0) на оси Y - обе на расстоянии 1 от начала координат, а ребро пирамиды их соединяет, и также - все остальные). 

Вот теперь сразу же очевидно, что высота пирамиды равна 1, и объем равен 2/3 (площадь основания очевидно равна 2).

На самом деле, есть очень интересная трехмерная фигура, которая получается, если выбрать в обычном кубе вершину и провести сечение через три вершины, соседние к ней. В сечении получится равносторонний треугольник (со строной корень(2), если ребро куба 1). Объем такой пирамидки равен (1*1/2)*1/3 = 1/6 объема куба. А заданная в задаче пирамида составлена из 4 таких фигур. А октаэдр - из 8 :)).