Размещено 5 лет назад по предмету Математика от STOORIK

Докажите, что среди чисел вида 2^{n} -3 существует бесконечно много чисел, делящихся на 5, и бесконечно много чисел, делящихся на 13, но не существует ни одного числа, делящегося на 65. Указание: рассмотреть остатки от деления числа на 5 и 13

Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан DNHelper

Разность чисел a и b делится на c, если a и b имеют равные остатки при делении на с.
Рассмотрим остатки от деления данного выражения на 5. 3 имеет остаток 3, поэтому 2ⁿ также должно иметь остаток 3. Заметим, что все числа вида $2^{4k-1},kinmathbb{N}$ имеют такой остаток. Докажем это методом математической индукции:
1. База индукции: при k = 1 $2^3=8equiv 3 (mod 5)$
2. Переход: пусть при k = x утверждение верно. Тогда при k = x + 1:
$2^{4(x+1)-1}=2^{4x+3}=16cdot2^{4x-1}equiv 1cdot2^{4x-1} (mod 5)$
Утверждение доказано. Так как k — любое натуральное число, данных в условии чисел бесконечно много.
Аналогично 2ⁿ должно иметь остаток 3 при делении на 13. Также докажем по индукции, что числа вида $2^{12k-8},kinmathbb{N}$ подходят:
1. База индукции: при k = 1 $2^4=16equiv 3 (mod 13)$
2. Переход: пусть при k = x утверждение верно. Тогда при k = x + 1:
$2^{12(x+1)-8}=2^{12x+4}=2^{12}cdot2^{12x-8}equiv 1cdot2^{12x-8} (mod 13)$
Утверждение доказано, данных в условии чисел, делящихся на 13, бесконечно много.
Докажем, что не существует чисел вида 2ⁿ, которые при делении на 65 дают остаток 3. Выпишем первые 12 остатков: 2 4 8 16 32 64 63 61 57 49 33 1. Среди них нет ни одной тройки. Докажем, что они повторяются, то есть $2^{12k+t}equiv 2^{12(k+1)+t} (mod 65)$ , где k — неотрицательное целое число, 0 ≤ t ≤ 11 (за исключением случая k = t = 0):
$2^{12(k+1)+t}=2^{12k+12+t}=2^{12}cdot 2^{12k+t}equiv 1cdot 2^{12k+t} (mod 65)$ — верно. Значит, 2ⁿ не может давать 3 при делении на 65.
1. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан liftec74
  
  В школе учат находить все возможные остатки. 2^n-3 при делении на 5 может дать только остатки 0,1,3,4 . Причем этот ряд остатков-чисел является периодическим. Значит остаток 0 будет повторяться бесконечное число раз. Значит делиться на 5 могут бесконечно много чисел вида 2^n-3. Аналогично и с 13 могут быть только остатки 1,5,0.....
2. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан DNHelper
  
  Я не знаю, можно ли считать периодичность остатков очевидным фактом, потому что лично нам в школе не давали это как теорему. Поэтому я посчитал нужным доказать это.
3. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан liftec74
  
  Понятно. Я просто решил полезным показать какое решение ожидают теперь от школьников.