Эта пословица уместна в том случае, когда человек ленится, не выполняет уроки, перестает интересоваться учебой. В этой ситуации, не читая хороших, добрых, поучительных книг, он начинает меняться не в лучшую сторону - он может говорить неправильно, допускать ошибки, а то и вовсе применять грубые слова. А если он не будет выполнять уроки письменно, то его рука отвыкнет, перестанет красиво выводить буквы, как раньше.

Пословица "Три дня не читаешь - рот грубеет, три дня не пишешь - рука слабеет".

Все, чему человек учится и все, что он умеет, приходит с опытом, с тренировкой. Если получается так, что какое-то умение не  тренируется, то оно со временем ослабевает или утрачивается. Вот и в этой пословице смысл таков: нужно больше читать, чтобы лучше говорить, нужно много писать,  тренировать руку к письму,  учить правила русского языка, чтобы "рука не слабела". То есть, чтобы писать красиво и грамотно, нужно больше заниматься, больше писать, больше учить правила, чтобы эти умения переходили в навык.