1. Две окружности одинаковых радиусов, равных 6 см, касаются друг друга в точке А. третья окружность с центром в точке А касается первых двух окружностей. Найти радиус четвертой окружности, касающейся трех данных.

2. В равнобедренном треугольнике основание равно 6 см, а боковая сторона 5 см. Найти расстояния от точки пересечения высот треугольника до его вершин.

3. В треугольник со сторонами 12 см, 9 см и 6 см вписана окружность. Найти отрезки, на которые точки касания окружности делят стороны треугольника.

4. Доказать, что диагонали трапеции и отрезок, соединяющий середины ее оснований, пересекаются в одной точке.

Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан vajny

1. Правильно сделать рисунок. К сожалению не проходят вложения.

Из центров окружностей - первых двух и четвертой - образуется равнобедренный тр-ик О1О2О3 с основанием О1О2= 12 и боковой стороной:

О1О3=О2О3 = 6+х, где х - искомый радиус 4-ой окр-ти.

Высота этого тр-ка О3А = 12-х и с другой стороны по теореме Пифагора:

О3А^2 = (x+6)^2 - 36

Итак получим уравнение:

(12-x)^2 = (x+6)^2 - 36

36x = 144   x = 4

Ответ: 4 см.

2. АС = 6, АВ = ВС = 5. АN,BD,CM - высоты

AО= CО = AD/cosa, где а = угол МСА = уголNAC = угол ABD

cosa = BD/АВ = (кор(25-9))/5 = 4/5

Тогда: АО = СО = 3/(4/5) = 15/4

OD = AD*tga = 3*3/4 = 9/4

BO = BD - OD = 4 - (9/4) = 7/4

Ответ: 15/4; 15/4; 7/4.

3.Центр впис. окр. - на пересечении биссектрис углов тр-ка АВС.

r - радиус вписаной окр-ти.

Из чертежа (надо правильно его выполнить, проведя радиусы в точки касания): отрезки до точек касания равны r/tg(A/2), r/tg(B/2), r/(tg(c/2).

Тангенс половинного угла считается по формуле tg(a/2) = sina/(1+cosa).

Итак в нашей задаче надо найти r и тригоном. ф-ии углов тр-ка.

r=?   S = pr   и   S = кор(p(p-a)(p-b)(p-c)), p = (6+9+12)/2 = 27/2

S = (27кор15)/4    r = S/p =(кор15)/2

Функции углов:cosB = (81+36-144)/(2*9*6) = - (1/4), sinB = (кор15)/4

По теореме синусов: 9/sinC = 12/sinB, sinC = (3кор15)/16, cosC = 11/16.

Аналогично: sinA = (кор15)/8, cosA = 7/8.

Считаем тангенсы:

tg(A/2) = (кор15)/15; tg(B/2) = (кор15)/3; tg(C/2) = (кор15)/9.

Искомые отрезки равны: 15/2, 9/2, 3/2.

Попарно по сторонам:

Ответ:15/2 и 9/2; 9/2 и 3/2; 15/2 и 3/2.